Un problema di geometria analitica

Ricevo da Greta la seguente domanda:
 
Gentile professore,
le scrivo per chiederle se per cortesia può aiutarmi nel seguente quesito:
Date due circonferenze \(C\) di centro \((1;1)\) e passante per l’origine e \(C’\) con centro \((3;3)\), tangenti esternamente, determinare:
A) i raggi delle circonferenze \(C\) e \(C’\);
B) le equazioni delle tangenti comuni.
La ringrazio molto per l’attenzione.
 
Le rispondo così:
 
Cara Greta,
il raggio della prima circonferenza è dato dalla distanza tra i punti \((1;1)\) e \((0;0)\), cioè \(\sqrt{2}\), per cui l’equazione della circonferenza \(C\) è \((x-1)^2+(y-1)^2=2\), cioè \(x^2+y^2-2x-2y=0\). Poiché il centro della circonferenza \(C’\) giace sulla retta \(y=x\), il punto di tangenza tra \(C\) e \(C’\) deve essere il punto di \(C\) appartenente al segmento di questa retta compreso tra i due centri, cioè il punto \(A(2;2)\), pertanto il raggio di \(C’\) è la distanza tra i punti \((3;3)\) e \((2;2)\), cioè nuovamente \(\sqrt{2}\). Ne consegue che l’equazione della circonferenza \(C’\) è \((x-3)^2+(y-3)^2=2\), cioè \(x^2+y^2-6x-6y+16=0\). Per determinare le equazioni delle tangenti comuni possiamo procedere in questo modo: imponiamo ad una generica retta \(y=mx+q\) (la rappresentazione grafica ci consente di escludere che tra le tangenti comuni vi siano rette parallele all’asse \(y\)) di avere distanza \(\sqrt{2}\) sia dal punto \((1;1)\) che dal punto \((3;3)\), cioè: \[\frac{\left| 1-m+q \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}=\sqrt{2}\quad \wedge \quad \frac{\left| 3-3m+q \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}=\sqrt{2}\] che, sviluppati i quadrati delle due espressioni, porta alle seguenti: \[{{m}^{2}}+2m-2mq-{{q}^{2}}+2q+1=0\quad \wedge \quad 7{{m}^{2}}-18m+6mq+{{q}^{2}}-6q+7=0\quad .\] Sommando le due equazioni si ottiene la seguente: \[q\left( 1-m \right)=2{{\left( 1-m \right)}^{2}}\]pertanto abbiamo due possibilità: \[m=1\Rightarrow {{q}^{2}}=4\Rightarrow q=\pm 2\quad \vee \quad m\ne 1\Rightarrow q=2\left( 1-m \right)\Rightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow m=-1\wedge q=4\] per cui si hanno tre possibili rette tangenti comuni ad entrambe le circonferenze: \[y=x+2\quad \vee \quad y=x-2\quad \vee \quad y=-x+4\quad .\]
Massimo Bergamini