Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
si tratta di trovare il dominio della seguente funzione: \[f\left( x \right)=\frac{\ln x-7}{\sqrt{\ln x-5}}\] e di trovare anche i valori per i quali la funzione risulta essere crescente e decrescente, e inoltre stabilire se la funzione sia iniettiva e/o suriettiva, ricavarne il codominio, l’eventuale estremo superiore ed inferiore decidendo se si tratti di funzione limitata o illimitata, e infine di trovare gli eventuali asintoti.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
il dominio \({{D}_{f}}\) è l’insieme degli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(x>0\wedge \ \ln x-5>0\), cioè \({{D}_{f}}=\left] {{e}^{5}},+\infty \right[\). Per dimostrare che in tutto il suo dominio \(f(x)\) è continua e monotona strettamente crescente (non volendo fare uso delle derivate), possiamo porre \(t=\sqrt{\ln x-5}\), con \(t>0\) e crescente con \(x\) per ogni \(x\in {{D}_{f}}\), da cui \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t}\), e facilmente si verifica che, detti \(a\) e \(b\) due valori qualsiasi di \(t\), entrambi positivi e con \(b>a\), si ha: \[\frac{{{b}^{2}}-2}{b}>\frac{{{a}^{2}}-2}{a}\leftrightarrow a{{b}^{2}}-2a>b{{a}^{2}}-2b\leftrightarrow \left( ab+2 \right)\left( b-a \right)>0\]sempre verificata nelle ipotesi suddette. Poiché si verifica che \[\underset{x\to {{e}^{{{5}^{+}}}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-2}{{{0}^{+}}}=-\infty \quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\ln x}\left( 1-7/\ln x \right)}{\sqrt{1-5/\ln x}}=+\infty \] ne consegue, per la continuità della funzione, che il suo codominio è l’insieme \(C_f=\mathbb{R}\), e quindi \(f(x)\) è suriettiva su \(\mathbb{R}\), mentre la monotonia implica l’iniettività (se potesse essere \(f(a)=f(b)\) con \(b>a\) si contraddirebbe la monotonia), cioè \(f(x)\) realizza una corrispondenza biunivoca tra \({{D}_{f}}=\left] {{e}^{5}},+\infty \right[\) e \(C_f=\mathbb{R}\). La funzione, di conseguenza, non è limitata né superiormente né inferiormente, e il suo grafico ammette come solo asintoto (verticale) la retta \(x=e^5\).
Massimo Bergamini
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Una funzione non limitata
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