Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di farmi vedere il procedimento di questi quesiti:
1) È dato il triangolo isoscele acutangolo con i lati uguali \(AB\) e \(BC\) di misura \(a\). Condotte per i vertici le altezze \(AD\), \(BE\) e \(CF\), determinare l’ampiezza dell angolo \(A\hat{B}C\) in modo che risulti soddisfatta la relazione \(BD+BE +BF =kAB\).
2) È data una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\). Si determini su di essa un punto \(P\) tale che indicate con \(C\) e \(D\) le proiezioni ortogonali dei punti \(A\) e \(B\) sulla tangente alla semicirconferenza in \(P\) sia \(2kr\) il perimetro del trapezio rettangolo \(ACDB\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto \(A\hat{B}C=2x\), con \(0 < x\le \pi/4\), si ha:\[BD=BF=a\cos 2x\quad BE=a\cos x\] per cui l’equazione richiesta risulta: \[2\cos 2x+\cos x=k\to 4{{\cos }^{2}}x+\cos x-2-k=0\]che, posto \(X=\cos x\), equivale al seguente sistema: \[Y={{X}^{2}}\quad \wedge \quad Y=-\frac{1}{4}X+\frac{2+k}{4}\quad \wedge \quad \frac{\sqrt{2}}{2}\le X<1\quad .\]Come si può dedurre dalla rappresentazione grafica, il problema ammette una soluzione accettabile per ogni valore di \(k\) tale che \(\sqrt{2}/2\le k<3\).
Nel secondo caso, posto \(P\hat{A}B=x\), con \(0\le x\le \pi/2\), si ha: \[CD=CP+PD=4r\sin x\cos x\quad BD=2r{{\sin }^{2}}x\quad AC=2r{{\cos }^{2}}x\quad AB=2r\] per cui l’equazione richiesta risulta: \[4r\sin x\cos x+2r\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)+2r=2kr\to 2\sin x\cos x+2=k\to \sin 2x=k-2\]che, posto \(Y=\sin 2x\), equivale al seguente sistema: \[Y=\sin 2x\quad \wedge \quad Y=k\quad \wedge \quad 0\le x\le \frac{\pi }{2}\quad .\]
Come si può dedurre dalla rappresentazione grafica, il problema ammette due soluzioni accettabili per ogni valore di \(k\) tale che \(2\le k\le 3\).
Massimo Bergamini