Ricevo da Veronica la seguente domanda:
Gentile professore,
per quanto riguarda il cambiamento di variabile nei limiti, ci sono delle condizioni che lo rendono applicabile?
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Veronica,
certamente sì, si tratta delle condizioni che riguardano il limite di funzioni che possono essere viste come funzioni composte a partire da altre funzioni; in particolare è condizione sufficiente (se pur non necessaria…) che la funzione componenda “esterna” sia continua in corrispondenza al valore a cui tende la funzione componenda “interna”, per intenderci: se esiste finito \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m\) e \(f(x)\) è continua in \(x=m\), si ha \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right) \right)=f\left( m \right)\), cioè le cose vanno come se, posto \(t = g(x)\), si fosse effettuato \(\underset{t\to m}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=f\left( m \right)\). La cosa funziona ancora nel caso che sia \(m=\pm \infty\), purchè esista \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l\) (eventualmente \(l=\pm\infty\)): anche in tal caso, posto \(t=g(x)\), si può procedere come se si fosse effettuata una sostituzione di variabile, cioè \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( g\left( x \right) \right)=\underset{t\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=l\).
Se invece si rilascia la condizione di continuità di \(f(x)\) nel punto \(x=m\) occore una certa cautela: infatti, in generale, non è sufficiente che esistano \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=m\) e \(\underset{x\to m}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l\) per affermare che esiste \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( g\left( x \right) \right)=\underset{t\to m}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=l\)! Se infatti si verificano contemporaneamente le due seguenti condizioni:
1) esiste \(f(m)\), ma \(f(x)\) ha in \(x=m\) una discontinuità eliminabile, cioè \(f(m)\ne \underset{x\to m}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l\);
2) in ogni intorno di \(x_0\) esite \(x\ne x_0\) tale che \(g(x) = m = \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\), cioè \(g(x)\) assume infinite volte il valore limite \(m\) in ogni intorno, per quanto piccolo, di \(x_0\);
si verifica che \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( g\left( x \right) \right)\) non esiste! Cioè, procedere in tal caso ad una ingenua “sostituzione di variabile” porterebbe ad un falso! Esempio: \[f\left( x \right)=x\ se\ x\ne 0,\ f\left( x \right)=1\ se\ x=0\quad \quad g\left( x \right)=x\sin \left( \frac{1}{x} \right)\] per cui si verifica facilmente che \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\) e \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\); si
sarebbe quindi tentati di porre \(t=g(x)\) e affermare che \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( g\left( x \right) \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=0\)… ma questo è falso, come si può verificare anche solo osservando il grafico della funzione \(f(g(x))\), la quale non ammette limite per \(x\) che tende a \(0\), tantomeno tale limite è \(0\), poiché in ogni intorno di \(0\) la funzione assume infinite volte il valore \(1\), pur assumendo anche valori arbitrariamente vicini a \(0\).
Massimo Bergamini