Un’iperbole traslata

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
 
Gentile professore,
devo trovare l’equazione dell’iperbole che ha i fuochi in \((0,0)\) e \((0,4)\) e passa per il punto \((12, 9)\).
Si può, a priori affermare che l’equazione richiesta è quella di un iperbole traslata con asse trasverso coincidente con l’asse \(y\) di equazione: \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=-1\quad ?\]
 
Gli rispondo così:
 
Caro Ferdinando,
certo, e in particolare possiamo dire che \(y_0=2\), in quanto il centro dell’iperbole si trova nel punto \((0,2)\) intermedio tra i fuochi. Inoltre, ricordando la relazione \(a^2+b^2=c^2\), essendo \(c\) la semidistanza tra i fuochi, possiamo ricavare \(a^2\) e \(b^2\) come soluzioni del sistema:       \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\quad \wedge \quad \frac{144}{{{a}^{2}}}-\frac{49}{{{b}^{2}}}=-1\Rightarrow {{b}^{4}}-197{{b}^{2}}+196=0\]la cui sola soluzione accettabile è la coppia: \(a^2=3\), \(b^2=1\), per cui l’equazione cercata è: \[\frac{{{x}^{2}}}{3}-{{\left( y-2 \right)}^{2}}=-1\to {{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+12y-9=0\quad .\]
Massimo Bergamini