Ricevo da Rossella la seguente domanda:
Gent.mo Professore,
ho difficoltà nel risolvere questi due problemi:
1) In un trapezio rettangolo \(ABCD\) la base maggiore \(AB\) e il lato obliquo \(CB\) misurano \(4a\) e la base minore \(DC\) misura \(2a\). Dopo aver determinato gli elementi incogniti del trapezio, traccia la semicirconferenza di diametro \(CB\) che incontra la base maggiore nel punto \(H\). Considera un punto \(P\) appartenente all’arco \(CH\) e, posto \(P\hat{B}H=x\), calcola il limite per \(P\) che tende ad \(H\) di \(PH^2/(AP^2-PB^2)\).
2) E’ data una semicirconferenza di centro \(O\) con diametro \(AB=2r\). Conduci dal punto \(A\) due corde \(AC\) e \(AD\) in modo che \(C\hat{O}D=\pi/3\), e, sempre dal punto \(A\), la semiretta tangente in \(A\) alla semicirconferenza. Detta \(P\) la proiezione di \(C\) sulla tangente, esprimi in funzione dell’angolo \(P\hat{A}C\) il rapporto \((AP\cdot CD)/S_{ACD}\), dove \(S_{ACD}\) rappresenta l’area del triangolo \(ACD\), e calcola il limite di tale rapporto al tendere di \(C\) ad \(A\).
Le rispondo così:
Cara Rossella,
nel primo caso, poichè la proiezione di \(C\) su \(AB\) cade nel punto medio \(H\) di \(AB\) stesso, si deduce che il triangolo rettangolo \(CHB\) ha un angolo nel vertice di \(B\) di \(\pi/3\), per cui \(CH=AD=2a\sqrt{3}\), e \(H\) è anche il punto in cui la semicirconferenza di diametro \(BC\) interseca \(AB\). Per il teorema della corda e per le relazioni fondamentali tra elementi di triangoli rettangoli, si ha: \[P{{H}^{2}}=16{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}x\quad A{{P}^{2}}=P{{B}^{2}}{{\sin }^{2}}x+{{\left( 4a-PB\cos x \right)}^{2}}=P{{B}^{2}}+16{{a}^{2}}-8aPB\cos x\] per cui, essendo \(PB=4a\cos \left( \pi /3-x \right)=2a\left( \cos x+\sqrt{3}\sin x \right)\): \[\underset{P\to H}{\mathop{\lim }}\,\frac{P{{H}^{2}}}{A{{P}^{2}}-P{{B}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-2\cos \left( \pi /3-x \right)\cos x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-{{\cos }^{2}}x-\sqrt{3}\sin x\cos x}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{\sin x\left( \sin x-\sqrt{3}\cos x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{\sin x-\sqrt{3}\cos x}=\frac{0}{-\sqrt{3}}=0\quad .\]
Nel secondo caso, sempre per il teorema della corda, posto \(P\hat{A}C=x\) ed essendo \(A\hat{O}C=2P\hat{A}C=2x\),si ha: \[CD=r\quad AC=2r\sin x\quad AP=2r\sin x\cos x\quad AD=2r\sin \left( x+\pi /6 \right)=r\left( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right)\] per cui: \[{{S}_{ACD}}=\frac{AC\cdot AD\cdot \sin \left( \pi /6 \right)}{2}={{r}^{2}}\sin x\left( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right)\Rightarrow \]\[\Rightarrow \underset{C\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{AP\cdot CD}{{{S}_{ACD}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{r}^{2}}\sin x\cos x}{{{r}^{2}}\sin x\left( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}=2\quad .\]
Massimo Bergamini