Equazioni con valori assoluti

Ricevo da Francesca la seguente domanda:
 
Non riesco a risolvere il seguente problema (es. 21 pag. 239, Manuale blu 2.0 di matematica):
a) Rappresenta graficamente la curva di equazione \(\frac{1}{2}\left| x \right|-\left| y \right|+2=0\).
b) Nello stesso sistema di riferimento rappresenta anche la curva di equazione \(2\left| x \right|-\left| y \right|-4=0\).
c) Indica con \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) i punti di intersezione tra i due grafici.
d) Calcola l’area della parte di piano racchiusa dai due grafici.
e) Indica come il grafico del punto b) può essere ottenuto a partire dal grafico del punto a).
Grazie!!!
 
Le rispondo così:
 
Cara Francesca,
ricordando che \(\left| x \right|=x\) se \(x\ge 0\) e \(\left| x \right|=-x\) se \(x<0\), e ricordando come vari il segno di \(x\) e \(y\) nei diversi quadranti del piano cartesiano, si ha che ciascuna delle curve ai punti a) e b) può essere pensata come unione di quattro semirette, in particolare: \[a)\quad \left\{ \frac{1}{2}x-y+2=0,\ x\ge 0,y\ge 0 \right\}\cup \left\{ -\frac{1}{2}x-y+2=0,\ x<0,y\ge 0 \right\}\cup \]\[\cup \left\{ -\frac{1}{2}x+y+2=0,\ x<0,y<0 \right\}\cup \left\{ \frac{1}{2}x+y+2=0,\ x\ge 0,y<0 \right\}\] \[b)\quad \left\{ 2x-y-4=0,\ x\ge 0,y\ge 0 \right\}\cup \left\{ -2x-y-4=0,\ x<0,y\ge 0 \right\}\cup \]\[\cup \left\{ -2x+y-4=0,\ x<0,y<0 \right\}\cup \left\{ 2x+y-4=0,\ x\ge 0,y<0 \right\}\quad .\]
Tracciando i due grafici, si può verificare la seguente corrispondenza tra coppie di semirette relativamente alla simmetria di scambio \(x\leftrightarrow y\), cioè la simmetria assiale rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante (risposta alla domanda e)): \[\left\{ \frac{1}{2}x-y+2=0,\ x\ge 0,y\ge 0 \right\}\leftrightarrow \left\{ 2x-y-4=0,\ x\ge 0,y\ge 0 \right\}\] \[\left\{ -\frac{1}{2}x-y+2=0,\ x<0,y\ge 0 \right\}\leftrightarrow \left\{ 2x+y-4=0,\ x\ge 0,y<0 \right\}\] \[\left\{ -\frac{1}{2}x+y+2=0,\ x<0,y<0 \right\}\leftrightarrow \left\{ -2x+y-4=0,\ x<0,y<0 \right\}\] \[\left\{ \frac{1}{2}x+y+2=0,\ x\ge 0,y<0 \right\}\leftrightarrow \left\{ -2x-y-4=0,\ x<0,y\ge 0 \right\}\quad .\]
Poiché ciascuna delle due curve è simmetrica rispetto ad entrambi gli assi coordinati (e quindi anche rispetto al centro del riferimento), anche la loro unione lo è, per cui, trovato uno dei punti di intersezione \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), gli altri si devono trovare in posizioni simmetriche: \[A\left( 4,4 \right),\ B\left( -4,4 \right),\ C\left( -4,-4 \right),\ D\left( 4,-4 \right)\quad .\] L’area del poligono \(AFBGCHDE\) è quindi ottenibile moltiplicando per \(8\) l’area di uno dei triangoli, come ad esempio \(OEA\), in cui può essere scomposto il poligono stesso, cioè: \[{{S}_{AFBGCHDE}}=8\cdot {{S}_{OEA}}=8\cdot \frac{1}{2}{{x}_{E}}{{y}_{A}}=32\quad .\]
Massimo Bergamini