Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
un aiuto.
Sono date una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) e la corda \(BC=r\). Sia \(P\) in punto dell’arco \(BC\) in modo che, dette \(D\) la sua proiezione sulla tangente in \(A\) ed \(E\) quella su \(AC\), si abbia: \(PD+2PE=r\left( k-1 \right)\sqrt{3}k\), \(k\in \mathbb{R}\). Posto \(P\hat{A}B=x\), discuti le soluzioni al variare di \(k\).
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
con riferimento alla figura, osserviamo preliminarmente che \(C\hat{A}B=\pi/6\), per cui \(0\le x\le \pi/6\), e inoltre, in base anche al teorema della corda: \[PD=PA\cos x=2r{{\cos }^{2}}x\quad PE=PA\sin \left( \frac{\pi }{6}-x \right)=r{{\cos }^{2}}x-r\sqrt{3}\cos x\sin x\] per cui l’equazione richiesta risulta la seguente: \[4{{\cos }^{2}}x-2\sqrt{3}\cos x\sin x=\sqrt{3}\left( k-1 \right)\to 2\left( 1+\cos 2x \right)-\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{3}\left( k-1 \right)\]che, posto \(X=\cos 2x\) e \(Y=\sin 2x\), da origine al seguente sistema: \[Y=\frac{2\sqrt{3}}{3}X+\frac{2\sqrt{3}}{3}+1-k\quad \wedge \quad {{X}^{2}}+{{Y}^{2}}=1\quad \wedge \quad \frac{\sqrt{3}}{2}\le X\le 1,0\le Y\le \frac{1}{2}\quad .\]
Imponendo alla retta del fascio improprio il passaggio per gli estremi dell’arco di circonferenza goniometrica rappresentato in figura, si deduce che il problema ammette una soluzione per \[\frac{9+4\sqrt{3}}{6}\le k\le \frac{4\sqrt{3}}{3}+1\quad .\]
Massimo Bergamini
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Un problema parametrico
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