Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi può aiutare col seguente problema?
Due coni circolari retti hanno parte dei loro volumi in comune avendo ciascuno di essi il proprio vertice coincidente col centro della base dell’altro in modo tale che la loro altezza è comune e le loro basi sono parallele. Sapendo che il lato apotema dell’un cono è perpendicolare al lato apotema dell’altro, che la comune altezza è di \(20\;m\) e il raggio della base minore di \(15\;m\), calcolare il volume e la superficie del solido comune ai due coni dati.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, vista la similitudine dei vari triangoli rettangoli definiti dalla sezione trasversale del solido, e utilizzando il teorema di Pitagora, si ha: \[{{O}_{1}}A=25,\ {{O}_{1}}B=\frac{80}{3},OK=12,\]\[ {{O}_{1}}K=16,\ HK=\frac{48}{5}\] pertanto, il doppio cono con raggio di base \(HK\), altezze \(O_1H\) e \(OH\), apotemi \(O_1K\) e \(OK\), che costituisce la parte comune ai due coni, ha volume \(V\) e superficie \(S\) tali che: \[V=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{48}{5} \right)}^{2}}20=\frac{9216}{15}\pi \ {{m}^{3}}\quad \quad S=\pi \frac{48}{5}28=\frac{1344}{5}\pi \ {{m}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini