Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Egregio professore,
ho qualche difficoltà nel risolvere il seguente problema (n.28, pag. 1566, Matamatica.blu 2.0, vol.5):
Data la funzione\[f\left( x \right)=ax+b+\frac{1-{{x}^{2}}}{x-2}\]
a) trova per quali valori di \(a\) e \(b\) si ha \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1\);
b) rappresenta la funzione per i valori trovati;
c) detto \(A\) il punto in cui il grafico di \(f(x)\) incontra l’asse \(y\), determina la retta tangente \(t\) in \(A\) e considera il punto \(P\) appartenente all’arco di \(f(x)\), con \(x<2\). Determina \(\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\overline{PH}}^{2}}}{{{\overline{PA}}^{2}}}\), essendo \(H\) il punto in cui la parallela all’asse \(y\) passante per \(P\) interseca la retta \(t\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
riscritta in questo modo la funzione: \[f\left( x \right)=\frac{\left( a-1 \right){{x}^{2}}+\left( b-2a \right)x-2b+1}{x-2}\] si può dedurre la condizione affinchè sia \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1\), cioè \(a-1=0\wedge b-2a=-1\), da cui \(a=1\) e \(b=1\). La funzione risultante\[f\left( x \right)=-\frac{x+1}{x-2}\] è l’iperbole equilatera di asintoti \(x=2\) e \(y=-1\), che interseca in \(A(0,\frac{1}{2})\) l’asse \(y\). Poiché la derivata \[f'\left( x \right)=\frac{3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\] vale \(\frac{3}{4}\) in \(x=0\), la retta \(t\) tangente alla curva in \(A\) ha equazione
\(y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\). Si ha pertanto: \[{{\overline{PH}}^{2}}={{\left| {{y}_{P}}-{{y}_{H}} \right|}^{2}}=\frac{9{{x}^{4}}}{16{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\] \[{{\overline{PA}}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{9{{x}^{2}}}{4{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}\left( 4{{x}^{2}}-16x+25 \right)}{4{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\] e quindi: \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\overline{PH}}^{2}}}{{{\overline{PA}}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}-16x+25}=0\quad .\]
Massimo Bergamini
