Ricevo da Chiara la seguente domanda:
Caro professore,
sempre cercando di risolvere gli esercizi del “Mettiti alla prova”, ho trovato una difficoltà nel risolvere il seguente esercizio (n.17, pag.6):
Un centometrista si sta riscaldando prima della gara. Dopo uno scatto di \(4\;s\) a velocità crescente, rapidamente decelera e si ferma in \(2\;s\), per poi tornare ai blocchi con velocità costante. La legge oraria con cui si muove nella fase di accelerazione è \(s(t)=1,2t^2\); nella fase di decelerazione ha percorso \(9,6\;m\) e quando torna ai blocchi di partenza sono passati in tutto \(20,4\;s\).
a. Trova la legge oraria \(s(t)\) che descrive tutte e tre le fasi.
b. Calcola le funzioni \(s’(t)\) e \(s’’(t)\) e spiegane il significato fisico.
c. Disegna sullo stesso piano i tre grafici.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Chiara,
nei primi \(4;s\) la legge \(s(t)=1,2t^2\) è assegnata. Nei secondi compresi tra \(4\) e \(6\), trattandosi di un moto a decelerazione \(-a\) costante, la legge sarà della forma \(s\left( t \right)=-\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+bt+c\), con \(a\), \(b\) e \(c\) da determinarsi in modo che ci sia continuità all’istante \(4\), sia per la posizione \(s(t)\) che per la sua derivata, cioè la velocità istantanea \(v(t)=s’(t)\), e che all’istante \(6\) sia \(v(6)=s’(6)=0\). Poiché: \[s\left( 4 \right)=19,2\ m\quad v\left( 4 \right)=s'\left( 4 \right)=1,2\cdot 2\cdot 4=9,6\ m/s\quad s'\left( 6 \right)=-6a+b\] si deve avere: \[-8a+4b+c=19,2\quad -4a+b=9,6\quad -6a+b=0\] da cui \(a=4,8\;m/s^2\), \(b=28,8\;m/s\), \(c=-57,6\;m\). In modo analogo, sapendo che nell’ultima fase la legge oraria sarà quella di un moto a velocità uniforme, cioè con legge del tipo \(s(t)=at+b\), sapendo che deve essere \(s(6)=19,2+9,6=28,8\) e \(s(20,4)=0\), si ha:Image may be NSFW.
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\[6a+b=28,8\quad 20,4a+b=0\to\]\[\to a=-2\ m/s,\ b=40,8\ m\quad .\]
Riassumiamo e rappresentiamo:
\[s(t)=\left\{ \begin{array}{lll} 1,2t^2 \quad\quad\quad 0\le t\le 4 \\ -2,4t^2+28,8t-57,6\quad 4<t\le 6 \\ -2t+40,8 \quad\quad 6<t\le 20,4 \end{array} \right.\]
\[s’(t)=\left\{ \begin{array}{lll} 2,4t \quad\quad\quad 0\le t\le 4 \\ -4,8t+28,8\quad 4<t\le 6 \\ -2 \quad\quad\quad 6<t\le 20,4 \end{array} \right.\]
\[s’’(t)=\left\{ \begin{array}{lll} 2,4 \quad\quad\quad 0\le t\le 4 \\ -4,8 \quad\quad\quad 4<t\le 6 \\ 0 \quad\quad\quad 6<t\le 20,4 \end{array} \right.\]
Massimo Bergamini
