Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuterebbe a risolvere il seguente problema (pag.1561, n.896, Matematica.blu 2.0, vol.5)?
Data la funzione \[y=\frac{{{\log }_{\frac{1}{2}}}x-2}{1-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x}\]
a) determina il dominio e studia il segno;
b) studia il comportamento agli estremi del dominio classificando eventuali punti di discontinuità;
c) traccia il grafico probabile.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
innanzitutto, sfruttando la formula del cambiamento di base dei logaritmi, possiamo scrivere, in modo forse più comodo: \[y=\frac{{{\log }_{\frac{1}{2}}}x-2}{1-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x}=-\frac{2+{{\log }_{2}}x}{1+{{\log }_{2}}x}\quad .\]
La funzione risulta definita in \(D=\left] 0,+\infty \right[-\left\{ \frac{1}{2} \right\}\), e poiché \({{\log }_{2}}x>-2\) per \(x>\frac{1}{4}\) e \({{\log }_{2}}x>-1\) per \(x>\frac{1}{2}\), si ha: \[y=0\leftrightarrow x=\frac{1}{4}\quad y>0\leftrightarrow \frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}\] altrimenti la funzione è negativa nel resto del dominio.
I limiti che si devono considerare sono i seguenti:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{2+{{\log }_{2}}x}{1+{{\log }_{2}}x} \right)=-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1+2/{{\log }_{2}}x \right)}{\left( 1+1/{{\log }_{2}}x \right)}=-1\]\[\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{2+{{\log }_{2}}x}{1+{{\log }_{2}}x} \right)=-\frac{1}{{{0}^{\pm }}}=\mp \infty \]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{2+{{\log }_{2}}x}{1+{{\log }_{2}}x} \right)=-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1+2/{{\log }_{2}}x \right)}{\left( 1+1/{{\log }_{2}}x \right)}=-1\] per cui il grafico della funzione presenta un asintoto verticale, \(x=\frac{1}{2}\), che costituisce un punto di discontinuità di 2° specie, e un asintoto orizzontale, \(y=1\); possiamo dire che in \(x=0\) si ha invece una discontinuità eliminabile (3° specie).
Massimo Bergamini