Ricevo da Chiara la seguente domanda:
Buongiorno, potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questo problema (n.15, pag.6, Verso la seconda prova di matematica)?
La funzione \(f\) è continua e indefinitamente derivabile in \(\mathbb{R}\). Nell’intervallo \(\left[ 1;8 \right]\) ha le seguenti caratteristiche:
- · \(f\left( 1 \right)=\frac{3}{2},f\left( 8 \right)=5\);
- · \(f\left( x \right)=\frac{7}{2}\) soltanto in \(x=5\);
- · \(f”\left( x \right)<0\) per \(x\in \left[ 1;5 \right[\);\(f''\left( 5 \right)=0\);\(f''\left( x \right)>0\) per \(x\in \left] 5;8 \right]\).
Dimostra che esistono soltanto due punti interni all’intervallo \(\left[ 1;8 \right]\) in cui la funzione verifica il teorema di Lagrange.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Chiara,
si tratta di dimostrare che esistono due e solo due valori di \(c\) interni all’intervallo \(\left[ 1;8 \right]\) in cui si ha \[f'\left( c \right)=\frac{5-\frac{3}{2}}{8-1}=\frac{1}{2}\quad .\]
Consideriamo gli intervalli \(\left[ 1;5 \right]\) e \(\left[ 5;8 \right]\): in ciascuno di essi valgono le ipotesi del teorema di Lagrange, e in ciascuno di essi l’incremento è pari a \(1/2\): \[\frac{\frac{7}{2}-\frac{3}{2}}{5-1}=\frac{5-\frac{7}{2}}{8-5}=\frac{1}{2}\] pertanto: \[\exists {{c}_{1}}\in \left] 1,5 \right[\ \wedge \ \exists {{c}_{2}}\in \left] 5,8 \right[:f'\left( {{c}_{1}} \right)=f'\left( {{c}_{2}} \right)=\frac{1}{2}\quad .\]
Resta da dimostrare che \(c_1\) e \(c_2\) sono gli unici valori per i quali \(f’\left( x \right)=\frac{1}{2}\): questo consegue dal fatto che la funzione \(f’\left( x\right)\) per le ipotesi sul segno di \(f”\left( x \right)\), è monotona in entrambi gli intervalli (decrescente nel primo, crescente nel secondo), e pertanto non può assumere più di una volta, in ciascuno degli intervalli, il valore \(1/2\).
Massimo Bergamini