Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi può aiutare a risolvere queste disequazioni?
\[\frac{\cos x-\sin x-1}{\cos \left( x-\pi /3 \right)}\le 0\quad \quad \frac{\cos x-1-\tan \left( x/2 \right)}{4{{\cos }^{2}}x-3}\le 0\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, esaminiamo il segno del numeratore \(\cos x-\sin x-1\), visualizzando sulla circonferenza goniometrica l’intersezione tra i semipiani delimitati dalla retta \(X-Y-1=0\) e la circonferenza \(X^2+Y^2=1\) stessa, avendo posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\): se ne ricava che il numeratore è positivo in corrispondenza all’arco contenuto nel 4° quadrante (\(\frac{3}{2}\pi +2k\pi<x<2\pi+2k\pi\)), negativo altrove. Il denominatore, invece, è positivo per \(-\frac{\pi }{2}+2k\pi <x-\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}+2k\pi\), cioè per \(-\frac{\pi }{6}+2k\pi <x<\frac{5}{6}\pi +2k\pi\): se ne ricava che la frazione è complessivamente negativa o nulla nell’insieme:
\[S=\left\{ 2k\pi \le x<\frac{5}{6}\pi +2k\pi \ \vee \ \frac{3}{2}\pi +2k\pi \le x<\frac{11}{6}\pi +2k\pi \right\}\quad .\]
Nel secondo caso, possiamo riscrivere la disequazione in modo più utile, utilizzando qualche identità goniometrica:
\[\frac{\cos x-1-\tan \left( x/2 \right)}{4{{\cos }^{2}}x-3}\le 0\to \frac{\cos x-1-\frac{\sin x}{\cos x+1}}{4{{\cos }^{2}}x-3}\le 0\to \]\[\to \frac{{{\cos }^{2}}x-1-\sin x}{\left( \cos x+1 \right)\left( 4{{\cos }^{2}}x-3 \right)}\le 0\to \frac{\sin x\left( \sin x+1 \right)}{\left( \cos x+1 \right)\left( 4{{\cos }^{2}}x-3 \right)}\ge 0\] e poiché i fattori \(\left( \sin x+1 \right)\) e \(\left( \cos x+1 \right)\) sono sempre positivi, eccetto che per i valori in cui si annullano, cioè \(\frac{3}{2}\pi +2k\pi\) il primo e \(\pi +2k\pi\) il secondo, possiamo limitarci a confrontare il segno del fattore \(\sin x\), positivo o nullo per \(2k\pi \le x\le \pi +2k\pi\) e negativo altrove, e il segno del fattore \(4{{\cos }^{2}}x-3\), positivo per \(-\frac{\pi }{6}+2k\pi <x<\frac{\pi }{6}+2k\pi \ \vee \ \frac{5}{6}\pi +2k\pi <x<\frac{7}{6}\pi +2k\pi\), per cui complessivamente si ha l’insieme soluzione: \[S=\left\{ 2k\pi \le x<\frac{\pi }{6}+2k\pi \ \vee \ \frac{5}{6}\pi +2k\pi <x<\pi +2k\pi \ \vee \ \frac{7}{6}\pi +2k\pi <x<\frac{11}{6}\pi +2k\pi \right\}\quad .\]
Massimo Bergamini