Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Si studi la seguente funzione
\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{3}}}\]
tracciandone il grafico.
1) Determinare il campo di esistenza di \(f\);
2) calcolarne la derivata;
3) studiare la crescenza e decrescenza di \(f\) ed eventuali punti di massimo e minimo relativi.
4) Determinare eventuali punti di intersezione con gli assi coordinati.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Francesca,
la funzione esiste per ogni \(x\) reale non nullo, per cui il campo di esistenza è l’insieme \({{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\). La funzione è dispari, cioè simmetrica rispetto all’origine del riferimento, essendo \(f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in {{D}_{f}}\), e ammette l’asse delle ascisse come asintoto orizzontale e l’asse \(y\) come asintoto verticale, essendo
\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{3}}}=0\quad \quad \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{3}}}=+\infty \quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{3}}}=-\infty \quad .\]
La funzione si annulla per \(x=\pm 1\) (intersezioni con l’asse \(x\)) ed è positiva per \(-1<x<0\) e per \(x>1\), negativa altrove, ad eccezione di \(x=0\), dove non è definita (e pertanto è esclusa ogni possibile intersezione con l’asse delle ordinate). 
La funzione derivata di \(f(x)\) è la seguente: \[f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)}{{{x}^{6}}}=\frac{-{{x}^{2}}+3}{{{x}^{4}}}\]e poichè\[f'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}\] \[ f'\left( x \right)>0\leftrightarrow -\sqrt{3}<x<\sqrt{3},\ x\ne 0\] si può dire che, essendo la funzione decrescente per valori di \(x\) esterni all’intervallo \(\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]\), cresecente per valori interni (\(x=0\) escluso), per \(x=-\sqrt{3}\) la funzione presenta un minimo relativo, mentre per \(x=\sqrt{3}\) presenta un massimo relativo.
Massimo Bergamini