Gentilissimo professore,
ho difficoltà nella risoluzione di questi due problemi:
1) Trovare min e max assoluti e relativi della seguente funzione:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \left| x+2 \right|\left( x-1 \right)\quad x\le 1 \\ (x-1)^2\quad\quad\quad x>1 \end{array} \right.\]
2) Trovare min e max della seguente funzione:
\[f\left( x,y \right)={{\ln }^{2}}\left( 3xy \right)+\ln \left( {{\left( 3xy \right)}^{2}} \right)\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
nel primo caso, possiamo innanzitutto dire che non vi sono massimi e minimi assoluti per \(f(x)\) dal momento che la funzione non è limitata né superiormente né inferiormente, in quanto \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty\). Il grafico della funzione è formato da tre archi di parabola, e presenta due punti angolosi di non derivabilità in corrispondenza a \(x=-2\) e a \(x=1\): in entrambi la funzione è nulla, ma il primo corrisponde a un massimo relativo, perché la funzione è localmente negativa in un suo intorno, mentre il secondo no, essendo la funzione prima negativa poi positiva in un suo intorno. L’unico punto regolare a derivata nulla è il corrispondente di \(x=-1/2\), punto di minimo relativo, come facilmente si deduce dal segno della derivata stessa in un suo intorno. 
Nel secondo caso, la funzione, definita per \(xy>0\), può essere riscritta in questo modo: \[f\left( x,y \right)={{\ln }^{2}}\left( 3xy \right)+2\ln \left( 3xy \right)\]
e le sue derivate parziali sono le seguenti:
\[{{\partial }_{x}}f=\frac{2\left( \ln \left( 3xy \right)+1 \right)}{x}\quad {{\partial }_{y}}f=\frac{2\left( \ln \left( 3xy \right)+1 \right)}{y}\]
pertanto il sistema \({{\partial }_{x}}f=0\ \wedge \ {{\partial }_{y}}f=0\) è risolto per tutti gli \((x,y)\) tali che \(xy=\frac{1}{3e}\): esiste quindi una intera iperbole equilatera di punti nel piano \(xy\) che sono possibili punti estremali per la funzione. Calcoliamo il determinante della matrice hessiana in tali punti \(\left( x,\frac{1}{3ex} \right)\):
\[{{\partial }_{xx}}f=\frac{2}{{{x}^{2}}},{{\partial }_{xy}}f={{\partial }_{yx}}f=6e,{{\partial }_{yy}}f=18{{x}^{2}}{{e}^{2}}\to \det H=36{{e}^{2}}-36{{e}^{2}}=0\] quindi la natura dei punti resta dubbia; tuttavia, non è difficile convincersi che tali punti costituiscono dei minimi relativi, e assoluti, per la funzione, dal momento che in essi si ha \[f\left( x,\frac{1}{3ex} \right)=1-2=-1\] e la condizione: \[{{\ln }^{2}}\left( 3xy \right)+2\ln \left( 3xy \right)<-1\to {{\left( \ln \left( 3xy \right)+1 \right)}^{2}}<0\] non può mai essere verificata. In figura sono rappresentate alcune curve di livello della funzione \(f(x,y)\): quella corrispondente al valore \(-1\) e costituita tutta di punti di minimo.
Massimo Bergamini