Ricevo da Rossella la seguente domanda:
Buongiorno Professore:
1) Dato il segmento \(AB=2L\), condurre per il punto medio \(M\) una semiretta \(r\) che formi con la semiretta \(MB\) un angolo uguale a \(\frac{\pi }{4}\). Su \(r\) considerare un punto \(P\) e porre l’angolo \(P\hat{B}M=\frac{x}{2}\); studiare e tracciare il grafico della funzione: \(f(x)=\frac{A{{P}^{2}}}{B{{P}^{2}}}\).
a) Determinare il massimo della funzione e per quale valore di \(x\) si ottiene.
b) Tracciare il grafico della funzione \(g(x)=3+2\sqrt{2}\sin \left| x-\frac{\pi }{4}\right|\).
2) Sia \(M\) il punto medio del segmento \(AB=2a\). In uno dei due semipiani limitati dalla retta \(AB\) si fissi un punto \(P\) tale che: \(\cos \left( A\hat{P}M \right)=\frac{3}{5}\). Posto l’angolo \(P\hat{A}M=x\), tracciare il grafico della funzione: \(f(x)=5AP+PM\), indicando l’arco che si riferisce al problema. Determinare il massimo della funzione \(f(x)\) e il valore di \(x\) per il quale si ottiene.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Rossella,
nel primo caso, dal teorema dei seni applicato al triangolo \(MPB\), si ha:\[PM=\frac{L\sin \frac{x}{2}}{\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)}\quad PB=\frac{\sqrt{2}L}{2\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)}\]e dal teorema dei coseni applicato al triangolo \(AMP\):\[A{{P}^{2}}={{L}^{2}}+P{{M}^{2}}+\sqrt{2}LPM\]per cui \[f\left( x \right)=\frac{A{{P}^{2}}}{P{{B}^{2}}}=2{{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)+2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+2\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)=\]\[=1+\sin x+1-\cos x+1-\cos x+\sin x=3+2\sin x-2\cos x=\]\[=3+2\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\quad .\] La funzione \(f\left( x \right)=3+2\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\), per \(0\le x<\frac{3}{2}\pi\), ha il suo massimo per \(\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\), cioè per \(x=\frac{3}{2}\pi\), e 
tale massimo vale \(3+2\sqrt{2}\). La funzione \(g(x)\) coincide con \(f(x)\) per \(x\ge \pi/4\), mentre per \(x<\pi/4\) coincide con la simmetrica di \(fx)\) rispetto all’asse \(x=\pi/4\).
Nel secondo caso, osserviamo innanzitutto che \(\sin \left( A\hat{P}M \right)=\frac{4}{5}\), e che il luogo dei possibili punti \(P\) è un arco si circonferenza di cui \(AM=a\) è una corda che sottende un angolo costante \(\alpha\) il cui coseno è 
appunto \(3/5\) e il cui seno è \(4/5\). Posto quindi che \(P\hat{A}M=x\) è tale che \(0\le x\le \alpha =\arccos \frac{3}{5}\), applicando il teorema dei seni al triangolo \(AMP\) si ha:
\[AP=\frac{5}{4}a\sin \left( \alpha +x \right)=5a\cos x+\frac{15}{4}a\sin x\]
\[PM=\frac{5}{4}a\sin x\to 5AP+PM=\]\[=5a\cos x+5a\sin x\]per cui: \[f\left( x \right)=5\sqrt{2}a\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\quad \quad 0\le x\le \alpha =\arccos \frac{3}{5}\] funzione che presenta un massimo per \(x=\frac{\pi }{4}\), dove il suo valore è \(5\sqrt{2}a\).
Massimo Bergamini