Ricevo da Elena la seguente domanda:
Salve, ho osservato che il seguente integrale (n.533, p.1991, Matematica.blu 2.0) \[\int{\frac{dx}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}}\]
è facilmente risolvibile sostituendo \(t=x-2\), da cui si ottiene \(\arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right)+c\). Tuttavia inizialmente ho sostituito \(t=\sqrt{x}\) e mi risulta \(2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)+c\). È equivalente? Se no, come mai non torna?
Inoltre avrei un’altra domanda.
Sappiamo che: \[\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=\ln \left| a\left( x \right) \right|+c\] ma se provo a calcolarlo come integrale per parti, ponendo \(f(x)=1/a(x)\) e \(g’(x)=a’(x)\), perchè non torna? Il fatto è che l’integrale che voglio calcolare lo ritrovo nell’integrale del calcolo e quindi l’equazione finale risulta \(0=1\), impossibile.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elena,
nel primo caso la risposta è questa: i due procedimenti sono effettivamente equivalenti, e per quanto apparentemente così diverse, le funzioni che si ottengono differiscono solo per una costante additiva, e quindi gli integrali indefiniti sono gli stessi (ti ricordo che l’integrale indefinito non è una funzione ma un insieme di funzioni, cioè tutte e sole le primitive della funzione integranda…). In effetti, derivando la funzione che hai ottenuto, si ha:\[2\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{4}}}\cdot \frac{1}{4\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{4-x}}=\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}\]e inoltre si può verificare che, per ogni \(0\le x\le 4\), si ha: \[\arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right)=2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)-\frac{\pi }{2}\] infatti: \[\frac{x-2}{2}=\sin \left( \arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right) \right)=\sin \left( 2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)-\frac{\pi }{2} \right)=\]\[=-\cos \left( 2\arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \right)=2{{\sin }^{2}}\left( \arcsin \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \right)-1=\]\[=2{{\left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right)}^{2}}-1=\frac{x-2}{2}\quad .\]
La seconda questione riguarda ancora il fatto che il simbolo di integrale indefinito indica un insieme di infinite funzioni, distinte l’una dall’altra per un’arbitraria costante additiva, per cui la scrittura \[\int{f\left( x \right)\,}dx=\int{f\left( x \right)\,}dx+c\] rappresenta, per qualunque valore di \(c\), una identità, non una contraddizione! Ed è proprio a questa inutile identità che si perviene operando secondo il tuo suggerimento:
\[\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=\int{\frac{1}{a\left( x \right)}\cdot a'\left( x \right)\,}dx=\frac{1}{a\left( x \right)}\cdot a\left( x \right)+\int{\frac{a'\left( x \right)}{{{a}^{2}}\left( x \right)}\cdot a\left( x \right)\,}dx\to \]\[\to \int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=1+\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx=\int{\frac{a'\left( x \right)}{a\left( x \right)}\,}dx\quad !!\]
Massimo Bergamini