Ricevo da Angela la seguente domanda:
Caro professore,
le chiedo aiuto per le seguenti equazioni differenziali:
\[y''-4y={{e}^{2x}}\sin x\quad \quad y''+y=4\left( x+1 \right)\cos x\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Angela,
nel primo caso, fatto salvo che l’integrale generale dell’omogenea associata è \({{y}_{0}}\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-2x}}\), si tratta di cercare un integrale particolare \(\bar{y}\left( x \right)\): per analogia, si può cercare una funzione del tipo \(\bar{y}\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( A\sin x+B\cos x \right)\), per cui:
\[\bar{y}''\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( \left( 3A-4B \right)\sin x+\left( 4A+3B \right)\cos x \right)\to\]\[\to \bar{y}''-4\bar{y}=\left( -\left( A+4B \right)\sin x+\left( 4A-B \right)\cos x \right)\to\]\[\to \bar{y}''-4\bar{y}={{e}^{2x}}\sin x\leftrightarrow -A-4B=1\ \wedge \ 4A-B=0\to\]\[\to A=-\frac{1}{17}\ \wedge \ B=-\frac{4}{17}\] quindi l’integrale completo dell’equazione è il seguente: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-2x}}-\frac{{{e}^{2x}}}{17}\left( \sin x+4\cos x \right)\quad {{c}_{1}},{{c}_{2}}\in \mathbb{R}\quad .\]
Nel secondo caso, all’integrale generale dell’omogenea \({{y}_{0}}\left( x \right)={{c}_{1}}\sin x+{{c}_{2}}\cos x\) va aggiunto un integrale particolare \(\bar{y}\left( x \right)\) che possiamo ricercare tra funzioni di questo tipo: \[\bar{y}\left( x \right)={{x}^{2}}\left( A\sin x+B\cos x \right)+x\left( C\sin x+D\cos x \right)\] per cui: \[\bar{y}''\left( x \right)=-{{x}^{2}}\left( A\sin x+B\cos x \right)+x\left( -\left( 4B+C \right)\sin x+\left( 4A-D \right)\cos x \right)+2\left( A-D \right)\sin x+2\left( B+C \right)\cos x\] e pertanto:\[\bar{y}''+\bar{y}=4x\left( -B\sin x+A\cos x \right)+2\left( A-D \right)\sin x+2\left( B+C \right)\cos x\to \]\[\to \bar{y}''+\bar{y}=4\left( x+1 \right)\cos x\leftrightarrow A=1\ \wedge \ B=0\ \wedge A-D=0\ B+C=2\to \]\[\to A=1\ \wedge \ B=0\ \wedge D=1\ C=2\] quindi l’integrale completo dell’equazione è il seguente: \[y\left( x \right)={{c}_{1}}\sin x+{{c}_{2}}\cos x+{{x}^{2}}\sin x+x\left( 2\sin x+\cos x \right)\quad .\]
Massimo Bergamini