Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
come si imposta questo esercizio?
Date le funzioni \[f_1(x)=\left\{ \begin{array}{ll} e^x\quad\quad -1\le x\le 0 \\ \frac{\ln \left( 1+x \right)}{x}\quad 0<x\le 1 \end{array} \right.\]
\[f_2(x)=\left\{ \begin{array}{ll} e^x\quad\quad -1\le x < 0 \\ \ln \left( 1+x \right) \quad 0\le x\le 1 \end{array} \right.\] disegnane i grafici, controlla le ipotesi del teorema di Weierstrass e, se esistono, determina il massimo \(M\) e il minimo \(m\) di ciascuna funzione.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel caso di \(f_1\), poiché:
\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)=1={{f}_{1}}\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)\]la funzione, in quanto definita e continua in ogni punto dell’intervallo chiuso \(\left[ -1,1 \right]\), soddisfa le condizioni del teorema di Weierstrass, e ammette il minimo assoluto \(m_1={{e}^{-1}}\) e il massimo assoluto \(M_1=1\).
Nel caso di \(f_2\), invece, poiché: \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( x \right)=1\ne {{f}_{2}}\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( x \right)=0\] la funzione presenta un punto di discontinuità in \(x=0\), e quindi non soddisfa le condizioni del teorema di Weierstrass, cioè non presenta necessariamente un minimo e un 
massimo assoluti nell’intervallo \(\left[ -1,1 \right]\); esiste comunque un minimo assoluto \(m_2=0\), mentre non esiste un massimo assoluto, poiché \(1\) rappresenta l’estremo superiore del codominio di \(f_2\), che è l’intervallo \(\left[ 0,1 \right[\), ma non ne rappresenta il massimo, poiché non vi appartiene.
Massimo Bergamini