Ricevo da Mario la seguente domanda:
Gent.mo Professore,
Le chiedo aiuto nella risoluzione del seguente problema:
In una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) determinare un punto \(D\) in modo che, detto \(E\) il punto di intersezione tra la bisettrice dell’angolo \(D\hat{A}B\) con il segmento \(DB\) risulti: \[\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}=k\quad k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Mario,
posto \(2x=B\hat{A}D\), con \(0\le x\le \pi /4\), si ha \(BD=2r\sin 2x\), e per il teorema dei seni applicato al triangolo \(BAE\) si ha:\[\frac{\overline{BE}}{\sin x}=\frac{2r}{\sin \left( \frac{\pi }{2}-x \right)}\to \overline{BE}=2r\tan x\quad .\]
Ricordando il teorema della bisettrice, si ha: \(DE/AD=BE/AB\), per cui: \[\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}=k\to \tan x+\frac{\tan x}{\sin 2x}=k\to \]\[\to \sin 2x+1=k+k\cos 2x\quad .\] Posto \(X=\cos 2x\), \(Y=\sin 2x\) si ha il sistema:\[\left\{ \begin{array}{lll} Y=kX+k-1 \\ X^2+Y^2=1 \\ 0\le X,Y\le 1 \end{array} \right.\]e si osserva che il fascio proprio di rette \(Y=kX+k-1\), con centro \((-1,-1)\) e rotazione antioraria, interseca una e una sola volta l’arco di circonferenza goniometrica di estremi \((1,0)\) e \((0,1)\) per i valori di \(k\) tali che \[\frac{1}{2}\le k\le 2\] e quindi per tali valori del parametro \(k\) il problema ammette una e una sola soluzione.
Massimo Bergamini