Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Salve professore,
vorrei chiederle un consiglio per risolvere il seguente problema:
trova i valori del parametro \(a\) affinchè la funzione \(y=4x^3+5ax^2+\frac{3}{4}x+a^2\) non abbia nè massimi nè minimi.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
poiché la funzione, per ogni valore di \(a\), è definita e derivabile su un insieme compatto, cioè tutto \(\mathbb{R}\), possiamo dire che non presenta né massimi né minimi relativi se e solo se è monotona, crescente o decrescente, su tutto il suo dominio, cioè se e solo se la sua derivata è sempre non negativa o sempre non positiva. Poiché la derivata è data dall’espressione di \(2^\circ\) grado \(y’=12x^2+10ax+\frac{3}{4}\), la condizione equivale alla richiesta che il discriminante di tale trinomio sia minore o uguale a \(0\), cioè:\[25{{a}^{2}}-9\le 0\to -\frac{3}{5}\le a\le \frac{3}{5}\quad .\]
Massimo Bergamini