Ricevo da Angela la seguente domanda:
Gentile professore,
ho di nuovo bisogno del suo aiuto, non riesco a risolvere i seguenti problemi (nn 396, 400, 402 pag 904 Matematica blu2.0):
1) Un’altalena a bilancia misura \(3\;m\) e il suo fulcro si trova a \(30\;cm\) da terra. Qual è la massima altezza raggiungibile da ciascun sedile? (I sedili si trovano alle due estremità).
2) Tre forze \({{\vec{F}}_{1}}\), \({{\vec{F}}_{2}}\), \({{\vec{F}}_{3}}\), i cui moduli sono \(8\;N\), \(4\;N\) e \(10\;N\), sono applicate su una stessa massa puntiforme. Determina gli angoli che \({{\vec{F}}_{1}}\) e \({{\vec{F}}_{2}}\) formano \({{\vec{F}}_{3}}\), sapendo che le tre forze si equilibrano.
3) Un pendolo è formato da una sferetta di piccole dimensioni appesa a un filo lungo \(80\;cm\). Nella posizione di riposo l’altezza della sfera dal suolo è \(60\;cm\); durante l’oscillazione essa raggiunge l’altezza massima dal suolo di \(75\;cm\). Qual è l’ampiezza di oscillazione?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Angela,
nel primo caso, osservando la figura, deduciamo rapidamente che \(\sin \alpha =\frac{0,3}{1,5}=\frac{1}{5}\), per cui \(BH=3\sin \alpha =60\ cm\).
Nel secondo caso, scelto un riferimento \(Oxy\) tale che \({{\vec{F}}_{3}}=10{{\vec{u}}_{x}}\), poniamo \({{\vec{F}}_{1}}=8\left( \cos \alpha {{{\vec{u}}}_{x}}+\sin \alpha {{{\vec{u}}}_{y}} \right)\) e \({{\vec{F}}_{2}}=4\left( \cos \beta {{{\vec{u}}}_{x}}-\sin \beta {{{\vec{u}}}_{y}} \right)\), dove \(\alpha\) e \(\beta\) sono gli angoli che \({{\vec{F}}_{1}}\) e \({{\vec{F}}_{2}}\) formano con \({{\vec{F}}_{3}}\) (il segno della 
seconda componente di \({{\vec{F}}_{2}}\) si giustifica con il fatto che l’angolo che tale vettore forma con l’asse delle \(x\) è \(2\pi -\beta\)). Si deve avere: \[8\cos \alpha +4\cos \beta =-10\quad \wedge \quad 8\sin \alpha -4\sin \beta =0\to \]\[\to \cos \beta =-\frac{5}{2}-2\cos \alpha \quad \wedge \quad {{\cos }^{2}}\beta =4{{\cos }^{2}}\alpha -3\to \]\[\to \cos \alpha =-\frac{37}{40}\quad \wedge \quad \cos \beta =-\frac{13}{20}\to\] 
\[\to\alpha \approx 157{}^\circ 40'06'',\;\beta \approx 130{}^\circ 32'30''\quad .\]
Infine, nel terzo caso, si tratta di porre \(80-80\cos \alpha =15\), da cui: \[\cos \alpha =\frac{3}{16}\to \alpha \approx 35{}^\circ 39'33''\quad .\]
Massimo Bergamini