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Channel: L'esperto di Matematica – Zanichelli Aula di scienze
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Cono con sfera

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Ricevo da Matteo la seguente domanda:

 

Gent.mo Professore,

un cono retto ha il raggio di base di lunghezza \(6L\) e l’altezza di lunghezza \(8L\); trova:

a) l’area della superficie della sfera in esso inscritta;

b) il raggio del cerchio individuato dai punti di tangenza della sfera con la superficie laterale del cono;

c) la superficie laterale del tronco di cono che ha per basi la base del cono e il cerchio individuato al punto precedente.

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Matteo,figura991

con riferimento alla figura, si coglie subito che, essendo \(VB=10L\) e \(HB\cong OB\), ed essendo tra loro simili i triangoli rettangoli \(VOB\) e \(VCH\), il raggio della sfera inscritta, cioè \(OC=CH\), misura \(3L\), per cui l’area della superficie di tale sfera è \(36\pi L^2\). D’altra parte, anche il triangolo \(VHO_1\) è simile a \(VOB\), per cui, essendo \(VH=4L\), si ha \(O_1H=\frac{12}{5}L\), che è il raggio del cerchio di cui al punto b). La superficie laterale del tronco di cono delimitato da tale cerchio e dalla base del cono è quindi:\[{{S}_{T}}=60{{L}^{2}}\pi -\frac{48}{5}{{L}^{2}}\pi =\frac{252}{5}{{L}^{2}}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini


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