Ricevo da Matteo la seguente domanda:
Gent.mo Professore,
un cono retto ha il raggio di base di lunghezza \(6L\) e l’altezza di lunghezza \(8L\); trova:
a) l’area della superficie della sfera in esso inscritta;
b) il raggio del cerchio individuato dai punti di tangenza della sfera con la superficie laterale del cono;
c) la superficie laterale del tronco di cono che ha per basi la base del cono e il cerchio individuato al punto precedente.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Matteo,
con riferimento alla figura, si coglie subito che, essendo \(VB=10L\) e \(HB\cong OB\), ed essendo tra loro simili i triangoli rettangoli \(VOB\) e \(VCH\), il raggio della sfera inscritta, cioè \(OC=CH\), misura \(3L\), per cui l’area della superficie di tale sfera è \(36\pi L^2\). D’altra parte, anche il triangolo \(VHO_1\) è simile a \(VOB\), per cui, essendo \(VH=4L\), si ha \(O_1H=\frac{12}{5}L\), che è il raggio del cerchio di cui al punto b). La superficie laterale del tronco di cono delimitato da tale cerchio e dalla base del cono è quindi:\[{{S}_{T}}=60{{L}^{2}}\pi -\frac{48}{5}{{L}^{2}}\pi =\frac{252}{5}{{L}^{2}}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini