Ricevo da Daniele la seguente domanda:
Buonasera, il testo di un esercizio dice:
indicato con \(A\) il punto di intersezione della retta \(x=2\) con l’asse delle ascisse e con \(B\) un punto generico sull’asse delle ordinate, prendi sulla retta data un punto \(C\) in modo che la distanza \(OB\) sia tripla della distanza \(AC\). Scrivi quindi l’equazione del luogo descritto dal punto \(P\), proiezione ortogonale di \(O\) sulla retta \(BC\), al variare di \(B\) sull’asse delle ordinate.
Grazie.
Gli rispondo così: 
Caro Daniele,
detta \(t\) l’ordinata di \(B\), si ha \(B(0,t)\) e \(C(2,t/3)\), per cui la retta \(BC\) ha equazione \(y=-\frac{t}{3}x+t\), e la perpendicolare a tale retta passante per \(O\) ha equazione \(y=\frac{3}{t}x\). Pertanto, salvo che per \(t=0\), per cui si ha \(P=O\), il punto \(P\) ha coordinate \[x=\frac{3{{t}^{2}}}{9+{{t}^{2}}}\quad \quad y=\frac{9t}{9+{{t}^{2}}}\] da cui, eliminando \(t\): \[\frac{x}{y}=\frac{t}{3}\to x=\frac{27{{x}^{2}}/{{y}^{2}}}{9+9{{x}^{2}}/{{y}^{2}}}\to 9{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=27x\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x=0\] che, completata del punto \(O(0,0)\), è l’equazione del luogo cercato: una circonferenza di centro \((3/2,0)\) e raggio \(3/2\).
Massimo Bergamini