Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come si risolvono questi quesiti?
1) La sezione di un certo solido con un piano perpendicolare all’asse \(x\) è un cerchio con gli estremi di un diametro sulle parabole \(y^2=9x\) e \(x^2=9y\). Calcolatene il volume.
2) Un foro di raggio \(1\;cm\) è trapanato in una sfera di raggio \(3\;cm\) in modo che l’asse del foro sia un diametro della sfera. Calcola il volume della parte rimanente di sfera.
3) Un solido ha la per base un’ellisse con l’asse maggiore lungo \(10\) e quello minore lungo \(8\). Calcolatene il volume se ogni sezione perpendicolare all’asse maggiore è un triangolo rettangolo isoscele con un cateto nel piano base.
4) La base di un solido è il segmento della parabola \(y^2=12x\) delimitato dal suo lato retto. Una sezione del solido perpendicolare all’asse della parabola è un quadrato. Calcolatene il volume.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto che la regione compresa tra le due parabole nel piano \(xy\) è delimitata dagli archi di estremi \(A(9,9)\) e \(B(0,0)\) delle funzioni \(y=3\sqrt{x}\) e \(y=\frac{{{x}^{2}}}{9}\), si tratta di calcolare il seguente integrale:
\[V=\frac{\pi }{4}\int\limits_{0}^{9}{{{\left( 3\sqrt{x}-\frac{{{x}^{2}}}{9} \right)}^{2}}dx=}\]\[=\frac{\pi }{4}\left[ \frac{9{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{5}}}{405}-\frac{4{{x}^{7/2}}}{21} \right]_{0}^{9}=\frac{6561}{380}\pi \quad .\]
Nel secondo caso, detto \(R\) il raggio della sfera e \(r\) il raggio del foro, si tratta in generale di calcolare il volume di un cilindro di raggio di base \(r\) e altezza \(2\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}\) e aggiungervi il volume di due segmenti sferici di altezza \(h=R-\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}\) (volume del segmento sferico: \(\frac{\pi }{3}{{h}^{2}}\left( 3R-h \right)\)), per cui il volume complessivamente sottratto alla sfera è: \[{{V}_{0}}=2\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+\frac{2}{3}\pi \left( R-\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)\left( 3R-R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)=\]\[=\frac{4}{3}\pi \left( {{R}^{3}}-{{\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right)\quad .\]
Il volume richiesto è quindi: \[V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}-\frac{4}{3}\pi \left( {{R}^{3}}-{{\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right)=\frac{4}{3}\pi {{\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{4}{3}\pi \left( 27-16\sqrt{2} \right)\ c{{m}^{3}}\quad .\]
Nel terzo caso, poiché per un dato \(x\) tra \(-5\) e \(5\) la sezione ha superficie \(S\left( x \right)=\frac{32}{25}\left( 25-{{x}^{2}} \right)\), il volume richiesto è dato da: \[V=\frac{64}{25}\int\limits_{0}^{5}{\left( 25-{{x}^{2}} \right)dx=\frac{64}{25}}\left[ 25x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{0}^{5}=\frac{640}{3}\quad .\]
Nell’ultimo caso, posto che il lato retto della parabola è la corda perpendicolare all’asse di simmetria passante per il fuoco \(F(3,0)\), si tratta di calcolare \[V=48\int\limits_{0}^{3}{xdx=48}\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{3}=216\quad .\]
Massimo Bergamini