Ricevo da Daniele la seguente domanda:
Salve,
avrei da risolvere un esercizio che dice:
Un segmento di lunghezza \(7\) ha i suoi estremi, \(A\) e \(B\), che appartengono rispettivamente all’asse delle ascisse e all’asse delle ordinate. Inoltre, il punto \(P\) del segmento dista \(5\) dall’estremo B. Scrivi l’equazione del luogo descritto da \(P\) al variare di \(A\) e \(B\) sui due assi cartesiani.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Daniele,
poniamo \(t\) l’ascissa del punto \(A\), con \(-7\leq t\leq 7\), da cui consegue (Pitagora) che l’ordinata di \(B\) è necessariamente \(\pm \sqrt{49-{{t}^{2}}}\). Dalle seguenti proporzioni: \[{{x}_{A}}:{{x}_{P}}=7:5\quad {{y}_{P}}:{{y}_{B}}=2:7\] si ricava che \({{x}_{p}}=\frac{5}{7}t\) e \({{y}_{p}}=\pm \frac{2}{7}\sqrt{49-{{t}^{2}}}\), per cui, eliminando \(t\): \[t=\frac{7}{5}x\to y=\pm \frac{2}{7}\sqrt{49-\frac{49}{25}{{t}^{2}}}\to\] \[\to\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\]cioè il luogo è l’ellisse canonica di semiassi \(a=5\) e \(b=2\).
Massimo Bergamini