Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi aiuta a risolvere i seguenti integrali (n.529 e n.533, pag.1991, Matematica Blu 2.0):
\[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-25}}dx\quad \quad }\int{\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}dx}\quad ?\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
il primo si può calcolare utilizzando una delle cosiddette sostituzioni di Eulero: \[\sqrt{4{{x}^{2}}-25}=t-2x\to 4{{x}^{2}}-25={{t}^{2}}+4{{x}^{2}}-4tx\to x=\frac{{{t}^{2}}+25}{4t}\] da cui segue:\[dx=\frac{{{t}^{2}}-25}{4{{t}^{2}}}dt\quad \quad \sqrt{4{{x}^{2}}-25}=t-\frac{{{t}^{2}}+25}{2t}=\frac{{{t}^{2}}-25}{2t}\] per cui l’integrale in questione diventa:
\[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-25}}dx=}\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}-25}\cdot\frac{{{t}^{2}}-25}{4{{t}^{2}}}dt=}\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t}dt=}\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+c\] cioè, in definitiva: \[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-25}}dx=\ln \sqrt{\left| 2x+\sqrt{4{{x}^{2}}-25} \right|}}+c\quad .\]
La funzione integranda del secondo integrale è riconducibile alla derivata di un arcoseno in modo abbastanza diretto:\[\int{\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-4+4}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{4-{{\left( x-2 \right)}^{2}}}}dx}=\]\[=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( \frac{x-2}{2} \right)}^{2}}}}dx}=\arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right)+c\quad .\]
Massimo Bergamini