Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Salve professore,
avrei delle difficoltà nel risolvere questo esercizio:
Si determini l’insieme di definizione e studio segno della seguente funzione :
\[f(x)=\left( 2-{{e}^{x}}+2\sqrt{\left| {{e}^{x}}-1 \right|} \right)\cdot \ln \left| \frac{2}{\pi }\arcsin \frac{x}{x-1} \right|\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
riguardo al dominio, osserviamo innanzitutto che il fattore tra parentesi che precede il logaritmo è definito per ogni \(x\) reale, pertanto eventuali limitazioni si hanno solo a causa dell’argomento del logaritmo stesso, che possiamo riscrivere come\[\ln \left( \frac{2}{\pi }\left| \arcsin \frac{x}{x-1} \right| \right)\] per cui risulta chiaro che la condizione di esistenza di \(f(x)\) equivale alla seguente:\[\arcsin \frac{x}{x-1}\ne 0\to -1\le \frac{x}{x-1}\le 1\wedge x\ne 0\]cioè: \[\frac{2x-1}{x-1}\ge 0\wedge \frac{1}{x-1}\le 0\wedge x\ne 0\to x\le \frac{1}{2}\wedge x\ne 0\]pertanto il dominio della funzione è l’insieme \[{{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\le \frac{1}{2},x\ne 0 \right\}\quad .\]
Per quanto riguarda il segno, osserviamo che il fattore tra parentesi è strettamente positivo per ogni \(x\in {{D}_{f}}\), in quanto \(2-{{e}^{x}}>0\) per ogni \(x<\ln 2\approx 0,693\), mentre il logaritmo è sicuramente minore o uguale a \(0\), in quanto il suo argomento è compreso tra \(0\) (escluso) e \(1\) (compreso, ottenuto quando \(x=1/2\) e, al limite, per \(x\) tendente a \(-\infty\)), essendo \(0<\left| \arcsin \frac{x}{x-1} \right|\le \frac{\pi }{2}\). In conclusione: \[se\quad x<\frac{1}{2}\wedge x\ne 0\to f\left( x \right)<0,\quad se\quad x=\frac{1}{2}\to f\left( x \right)=0\quad .\]
Massimo Bergamini