Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
aiutatemi a risolvere questo quesito:
determinare l’area del dominio \(D\) racchiuso dalla curva di equazioni parametriche
\[x=\cos t\quad \quad y=\sin \left( 2t \right)\quad \quad 0\le t\le \frac{\pi }{2}\quad .\]
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
poiché \(\sin \left( 2t \right)=2\sin t\cos t\) e \(\sin t=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}t}\), per \(0\le t\le \pi /2\), si ha:\[y=2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\quad \quad 0\le x\le 1\] e pertanto la regione \(D\) rappresentata dal sottografico di tale funzione ha area
\[{{S}_{D}}=\int\limits_{0}^{1}{2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx=}-\int\limits_{0}^{1}{-2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx=}-\left[ \frac{2}{3}{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini