Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Sia data la famiglia delle funzioni \(y=ax^3+bx\), con \(a\) e \(b\) costanti reali. Determina le funzioni passanti per i punti \((\pm 1;0)\) e tali che l’area della regione finita di piano delimitata dall’asse delle ascisse e dalla parte di grafico con \(x\in \left[ 0,1 \right]\) sia uguale a \(1/4\).
Le rispondo così:
Cara Rosy,
posto che il passaggio per i punti \((\pm 1;0)\) implica \(b=-a\), si tratta di porre la condizione
\[\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( a{{x}^{3}}-ax \right)dx} \right|=\frac{1}{4}\]da cui:\[\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( a{{x}^{3}}-ax \right)dx} \right|=\left| a\left[ \frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right]_{0}^{1} \right|=\frac{\left| a \right|}{4}\to \frac{\left| a \right|}{4}=\frac{1}{4}\leftrightarrow a=\pm 1\]e quindi le funzioni cercate sono:\[{{y}_{1}}={{x}^{3}}-x\quad \quad {{y}_{2}}=-{{x}^{3}}+x\quad \quad .\]
Massimo Bergamini