Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
Le chiedo un aiuto per questo problema:
Sia \(ABC\) un triangolo isoscele sulla base \(AB=2l\) e tale che \(\sin A\hat{B}C=\frac{4}{5}\). Condurre una semiretta di origine \(A\) che incontri in \(D\) il lato \(BC\) in modo che risulti : \(DB + DK =m AB\), \(m\in \mathbb{R}\), essendo \(DK\) la distanza di \(D\) dal lato \(AC\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
posto che \(0\le x\le \alpha\), con \(\alpha=A\hat{B}C=B\hat{A}C\), \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\), \(\cos \alpha=\frac{3}{5}\), per il teorema dei seni abbiamo:
\[DB=\frac{2l\sin x}{\sin \left( \alpha +x \right)}\quad DA=\frac{2l\sin \alpha }{\sin \left( \alpha +x \right)}\]
per cui: \[DB+DK=mAB\to \sin x+\sin \alpha \sin \left( \alpha -x \right)=m\sin \left( \alpha +x \right)\to \]\[\to \sin x+\frac{4}{5}\left( \frac{4}{5}\cos x-\frac{3}{5}\sin x \right)=m\left( \frac{4}{5}\cos x+\frac{3}{5}\sin x \right)\to \]\[\to \left( 13-15m \right)\sin x+4\left( 4-5m \right)\cos x=0\quad .\] Posto \(X=\cos x\), \(Y=\sin x\), si ha il sistema
\[\left\{ \begin{array}{lll} \left( 13-15m \right)Y+4\left( 4-5m \right)X=0\\ X^2+Y^2=1 \\ 3/5\le X \le 1, 0\le Y \le 4/5 \end{array} \right.\]
equivalente all’intersezione tra l’arco \(AB\) della circonferenza goniometrica e un fascio di rette di centro l’origine, “rotante” in senso antiorario al crescere del parametro \(m\), per cui si ricava che il problema ammette una e una sola soluzione accettabile per \[\frac{4}{5}\le m\le \frac{5}{6}\quad .\]
Massimo Bergamini