Ricevo da Gianluca la seguente domanda:
Caro professore,
ho il seguente quesito:
In un sacchetto ci sono \(5\) biglie blu e \(10\) verdi, in un secondo sacchetto ci sono \(7\) biglie blu e \(3\) verdi. Viene pescata a caso una biglia dal primo sacchetto e viene messa nel secondo. Qual è la probabilità di estrarre una biglia verde dal secondo sacchetto?
Gli rispondo così:
Caro Gianluca,
l’evento \(E\): “si estrae verde dal \(2^\circ\) sacchetto”, è unione di due eventi disgiunti, ciascuno intersezione di due eventi: \(E_1\): “si estrae blu dal \(1^\circ\) et si estrae verde dal \(2^\circ\)”, \(E_2\): “si estrae verde dal \(1^\circ\) et si estrae verde dal \(2^\circ\)”, le cui probabilità sono date dai seguenti prodotti:
\[p\left( {{E}_{1}} \right)=p\left( 1B\cap 2V \right)=p\left( 1B \right)\cdot p\left( 2V|1B \right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{1}{11}\]\[p\left( {{E}_{2}} \right)=p\left( 1V\cap 2V \right)=p\left( 1V \right)\cdot p\left( 2V|1V \right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}=\frac{8}{33}\]
per cui l’evento \(E\): “si estrae verde dal \(2^\circ\) sacchetto” ha la seguente probabilità:
\[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}}\cup {{E}_{2}} \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{1}{11}+\frac{8}{33}=\frac{1}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini