Ricevo da Stefania la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuta a risolvere questi integrali con il metodo di sostituzione?
\[\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}dx\quad \quad \quad \int{\frac{\sin x}{{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1/3}}}}dx\quad .\]
Grazie!
Le rispondo così:
Cara Stefania,
nel primo caso, posto \(x=\tan y\), si ha \(dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}y \right)dy\), per cui:
\[\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}dx=\int{\frac{1+{{\tan }^{2}}y}{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}y}}}dy=\int{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}y}}dy=\int{\frac{1}{\cos y}dy=}\int{\frac{\cos y}{1-{{\sin }^{2}}y}dy}\]
e quindi, posto \(t=\sin y\) e \(dt=\cos ydy\):
\[\int{\frac{\cos y}{1-{{\sin }^{2}}y}dy}=\int{\frac{1}{1-{{t}^{2}}}dt}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+t}dt+}\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-t}dt}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|+c\]per cui, essendo
\[\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|+c=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+\sin y}{1-\sin y} \right|+c=\ln \left| \frac{1}{\cos y}+\tan y \right|+c\]si ha: \[\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}dx=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right)+c\quad .\]
Nel secondo caso, posto \(t=\cos x\) e \(dt=-\sin xdx\), si ha:
\[\int{\frac{\sin x}{{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1/3}}}}dx=-\int{\frac{1}{{{t}^{2/3}}}}dt=-3{{t}^{\frac{1}{3}}}+c\quad \quad t\ne 0\]per cui: \[\int{\frac{\sin x}{{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1/3}}}}dx=-3\sqrt[3]{\cos x}+c\quad \quad x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \quad .\]
Massimo Bergamini