Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come faccio a dimostrare che in un triangolo qualsiasi vale la seguente relazione:
\[\frac{1}{\tan \alpha }+\frac{1}{\tan \beta }=\frac{{{c}^{2}}}{ab\sin \gamma }\quad ?\]
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura:
\[\tan \alpha =\frac{BK}{AK}=\frac{a\sin \gamma }{c\cos \alpha }\quad \tan \beta =\frac{AJ}{BJ}=\frac{b\sin \gamma }{c\cos \beta }\]\[c=AH+HB=b\cos \alpha +a\cos \beta \] da cui: \[\frac{1}{\tan \alpha }+\frac{1}{\tan \beta }=\frac{c\cos \alpha }{a\sin \gamma }+\frac{c\cos \beta }{b\sin \gamma }=\frac{c\left( b\cos \alpha +a\cos \beta \right)}{ab\sin \gamma }=\frac{{{c}^{2}}}{ab\sin \gamma }\quad .\]
Massimo Bergamini