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Channel: L'esperto di Matematica – Zanichelli Aula di scienze
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Un teorema di trigonometria

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Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Caro professore,

come faccio a dimostrare che in un triangolo qualsiasi vale la seguente relazione:

                          \[\frac{1}{\tan \alpha }+\frac{1}{\tan \beta }=\frac{{{c}^{2}}}{ab\sin \gamma }\quad ?\]

Grazie mille.

 

Le rispondo così:

 figura847

Cara Elisa,

con riferimento alla figura:

\[\tan \alpha =\frac{BK}{AK}=\frac{a\sin \gamma }{c\cos \alpha }\quad \tan \beta =\frac{AJ}{BJ}=\frac{b\sin \gamma }{c\cos \beta }\]\[c=AH+HB=b\cos \alpha +a\cos \beta \] da cui: \[\frac{1}{\tan \alpha }+\frac{1}{\tan \beta }=\frac{c\cos \alpha }{a\sin \gamma }+\frac{c\cos \beta }{b\sin \gamma }=\frac{c\left( b\cos \alpha +a\cos \beta  \right)}{ab\sin \gamma }=\frac{{{c}^{2}}}{ab\sin \gamma }\quad .\]

Massimo Bergamini


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