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Channel: L'esperto di Matematica – Zanichelli Aula di scienze
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Lampadine e probabilità

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Ricevo da Beatrice la seguente domanda:

 

Gentile professore,

Ho alcuni dubbi sul seguente problema:

Si prendono a caso \(3\) lampadine fra \(15\) lampadine di cui \(5\) difettose. Determinare la probabilità \(p\) che:

- nessuna sia difettosa;

- esattamente una sia difettosa;

- almeno una sia difettosa.

La ringrazio in anticipo.

 

Le rispondo così:

 

Cara Beatrice,

si tratta di una diretta applicazione dei teoremi del prodotto, della somma e delle probabilità per eventi che sono intersezioni e/o unioni di altri eventi, in particolare:

\(E_1\)=”nessuna sia difettosa”=”non difettosa la \(1^\circ\)” et “non difettosa la \(2^\circ\)” et “non difettosa la \(3^\circ\)”, per cui

              \[p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{8}{13}=\frac{24}{91}\approx 26,37\%\]

\(E_2\)=”esattamente una sia difettosa”=”difettosa la \(1^\circ\) et non difettose le altre” vel “difettosa la \(2^\circ\) et non difettose le altre” vel “difettosa la \(3^\circ\) et non difettose le altre”, per cui

\[p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{10}{14}\cdot \frac{9}{13}+\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{14}\cdot \frac{9}{13}+\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{5}{13}=\frac{45}{91}\approx 49,45\%\]

\(E_3\)=”almeno una sia difettosa”=”non avvenga che nessuna sia difettosa” =non-\(E_1\), per cui

            \[p\left( {{E}_{3}} \right)=1-p\left( {{E}_{1}} \right)=1-\frac{24}{91}=\frac{67}{91}\approx 73,62\%\quad .\]

Massimo Bergamini


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