Ricevo da Beatrice la seguente domanda:
Gentile professore,
Ho alcuni dubbi sul seguente problema:
Si prendono a caso \(3\) lampadine fra \(15\) lampadine di cui \(5\) difettose. Determinare la probabilità \(p\) che:
- nessuna sia difettosa;
- esattamente una sia difettosa;
- almeno una sia difettosa.
La ringrazio in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Beatrice,
si tratta di una diretta applicazione dei teoremi del prodotto, della somma e delle probabilità per eventi che sono intersezioni e/o unioni di altri eventi, in particolare:
\(E_1\)=”nessuna sia difettosa”=”non difettosa la \(1^\circ\)” et “non difettosa la \(2^\circ\)” et “non difettosa la \(3^\circ\)”, per cui
\[p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{8}{13}=\frac{24}{91}\approx 26,37\%\]
\(E_2\)=”esattamente una sia difettosa”=”difettosa la \(1^\circ\) et non difettose le altre” vel “difettosa la \(2^\circ\) et non difettose le altre” vel “difettosa la \(3^\circ\) et non difettose le altre”, per cui
\[p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{10}{14}\cdot \frac{9}{13}+\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{14}\cdot \frac{9}{13}+\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{5}{13}=\frac{45}{91}\approx 49,45\%\]
\(E_3\)=”almeno una sia difettosa”=”non avvenga che nessuna sia difettosa” =non-\(E_1\), per cui
\[p\left( {{E}_{3}} \right)=1-p\left( {{E}_{1}} \right)=1-\frac{24}{91}=\frac{67}{91}\approx 73,62\%\quad .\]
Massimo Bergamini