Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore
può dirmi il risultato di questo integrale indefinito?
\[\int{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}dx}\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
possiamo procedere utilizzando preliminarmente qualche identità goniometrica:
\[\frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\frac{{{\left( 1+\sin x \right)}^{2}}}{1-{{\sin }^{2}}x}={{\left( \frac{1+\sin x}{\cos x} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1-\cos \left( \pi /2+x \right)}{\sin \left( \pi /2+x \right)} \right)}^{2}}={{\tan }^{2}}\left( \frac{\pi +2x}{4} \right)\]per cui, posto \[p=\frac{\pi +2x}{4}\to dx=2dp\] si ha:\[\int{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}dx}=\int{{{\tan }^{2}}\left( \frac{\pi +2x}{4} \right)dx}=2\int{{{\tan }^{2}}pdp}=2\int{\left( 1+{{\tan }^{2}}p \right)dp}-2\int{dp}=\]\[=2\tan p-2p+c=2\tan \left( \frac{\pi +2x}{4} \right)-x+c\] ricordando che \(D\left( \tan p \right)=1+{{\tan }^{2}}p\) e che la costante \(-\frac{\pi }{2}\) viene inglobata nella costante di integrazione \(c\).
Massimo Bergamini