Ricevo da Mario la seguente domanda:
Egregio Professore,
ho riscontrato difficoltà nella soluzione dei seguenti integrali, potrebbe aiutarmi a risolverli? Le sono molto grato.
\[\int\limits_{\pi /6}^{\pi /4}{\cos 2x\sin 4xdx}\quad \quad \int\limits_{0}^{\pi /4}{\left( \cos x-2\sin x \right){{e}^{-2x}}dx}\quad \quad \int\limits_{\pi /3}^{\pi }{{{\sin }^{2}}x\cos xdx\quad .}\]
Gli rispondo così:
Caro Mario,
nel primo caso, utilizzando una nota formula goniometrica e la sostituzione \(\cos 2x=t\to dt=-2\sin 2xdx\), otteniamo: \[\int\limits_{\pi /6}^{\pi /4}{\cos 2x\sin 4xdx}=2\int\limits_{\pi /6}^{\pi /4}{{{\cos }^{2}}2x\sin 2xdx}=-\int\limits_{1/2}^{0}{{{t}^{2}}dt}=\left[ \frac{1}{3}{{t}^{3}} \right]_{0}^{1/2}=\frac{1}{24}\quad .\]
Nel secondo caso, l’integrazione per parti ci fornisce la seguente uguaglianza:
\[\int{\cos x}{{e}^{-2x}}dx=\sin x{{e}^{-2x}}+2\int{\sin x{{e}^{-2x}}}dx\to \int{\left( \cos x-2\sin x{{e}^{-2x}} \right)}dx=\sin x{{e}^{-2x}}+c\]
pertanto: \[\int\limits_{0}^{\pi /4}{\left( \cos x-2\sin x{{e}^{-2x}} \right)dx}=\left[ \sin x{{e}^{-2x}} \right]_{0}^{\pi /4}=\frac{\sqrt{2}}{2}{{e}^{-\pi /2}}\quad .\]
Nel terzo caso, con la sostituzione \(\sin x=t\to dt=\cos xdx\) otteniamo: \[\int\limits_{\pi /3}^{\pi }{{{\sin }^{2}}x\cos xdx=\int\limits_{\sqrt{3}/2}^{0}{{{t}^{2}}dt}}=\left[ \frac{1}{3}{{t}^{3}} \right]_{\sqrt{3}/2}^{0}=-\frac{\sqrt{3}}{8}\quad .\]
Massimo Bergamini
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Integrali definiti
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