Limiti parametrici

Ricevo da Manola la seguente domanda:
 
Ch.mo Professore,
ho provato a risolvere i seguenti limiti, ma non sono sicura di aver fatto tutto giusto: potrebbe spiegarmeli così posso capire dove ho sbagliato? La ringrazio infinitamente.
Calcolare al variare di \(a\in \mathbb{R}\) i limiti:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-\sin x \right|}{{{\left| 2x \right|}^{a}}}\quad \quad \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{a}}\left( \arctan \frac{1}{n}-\frac{1}{n} \right)\quad .\]
 
Le rispondo così:
 
Cara Manola,
nel primo caso osserviamo che, in base allo sviluppo di McLaurin di \(\sin x\) in un intorno di \(x=0\)     \[\sin x=x-\frac{1}{6}{{x}^{3}}+\frac{1}{5!}{{x}^{5}}-...\] possiamo dire che \(\left| \sin x-x \right|=\frac{1}{6}\left| {{x}^{3}} \right|+o\left( {{x}^{3}} \right)\), per cui: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-\sin x \right|}{{{\left| 2x \right|}^{a}}}=\frac{1}{6\cdot {{2}^{a}}}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| {{x}^{3-a}} \right|\] e tale limite è \(0\) per \(a<3\), \(1/48\) per \(a=3\), \(+\infty\) per \(a>3\).
Nel secondo caso, posto \(1/n=x\), il limite può scriversi come \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\arctan x-x}{{{x}^{a}}} \right)\] e in base allo sviluppo di McLaurin di \(\arctan x\) in un intorno di \(x=0\) \[\arctan x=x-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\frac{1}{5}{{x}^{5}}-...\] possiamo dire che \(\arctan x-x=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+o\left( {{x}^{3}} \right)\), per cui: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\arctan x-x}{{{x}^{a}}} \right)=-\frac{1}{3}\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3-a}} \right)\] e tale limite è \(0\) per \(a<3\), \(-1/3\) per \(a=3\), \(-\infty\) per \(a>3\).
Massimo Bergamini