Teorema di Rolle

Ricevo da Jessica la seguente domanda:
 
Gent.mo professor Bergamini,
ho un dubbio su questo esercizio. La funzione \(y=x^4-3x^3+2x^2\) verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo chiuso \([0,2]\), se non sbaglio. Per trovare i punti che godono della proprietà ho posto uguale a zero la derivata prima che si annulla in \(x=0\). Posso accettare tale valore visto che è un estremo dell’intervallo?
La ringrazio.
 
Le rispondo così:
 
Cara Jessica,
effettivamente la funzione \(y=x^4-3x^3+2x^2\), in quanto continua in \([0,2]\) e derivabile (almeno) in \(]0,2[\), con \(f(0)=f(2)=0\), soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, la cui tesi è l’esistenza di almeno un punto \(c\in ]0,2[\), cioè interno all’intervallo, in cui si ha \(y’(c)=0\): poiché la funzione derivata è \(y’=4x^3-9x^2+4x\), e questa si annula per \(x_1=0\), \(x_2=(9-\sqrt{17})/8\), \(x_3=(9+\sqrt{17})/8\), concludiamo che i valori che soddisfano la tesi sono \(x_2\) e \(x_3\), in quanto interni all’intervallo \([0,2]\), (meglio, o l’uno o l’altro dei due, visto che la tesi ne richiede almeno uno, senza impedire o prevedere la possibilità, come in questo caso, che ve ne sia più di uno!); non è corretto dire che anche \(x_1=0\) soddisfa la tesi, perché il fatto che la derivata si annulli anche in un estremo è accidentale, non necessario: non potresti dare un esempio di funzione che soddisfa le ipotesi di Rolle in un dato intervallo \([a,b]\) e tale che l’unico punto  in cui la derivata si annulla sia o \(a\) o \(b\): ci  deve essere necessariamente un punto \(c\) interno all’intervallo in cui la derivata sia nulla.  
 
Massimo Bergamini