Due quesiti di analisi infinitesimale

Ricevo da Filomena la seguente domanda:
 
Buonasera Professore,
avrei questi due quesiti che non so come affrontare.
Stabilire se le seguenti affermazioni sono corrette:
a) sia \(f(x)\) una funzione continua in \(\left[ 0,2 \right]\) e tale che risulti \(f(0)=1\), \(f(2)=4\): allora esiste un punto \(c\) appartenente a \(\left( 0,2 \right)\) tale che \(f(c)=2\);
b) se una funzione \(g(x)\) ha derivata terza continua in \(\left( -\infty ,+\infty  \right)\) ed inoltre \(g’’(x)\left( 3 \right)=0\) e \(g’’’(x)\left( 3 \right)>0\), allora la funzione \(g(x)\) è convessa in un intorno destro del punto \(3\).
Grazie per l’attenzione!
 
Le rispondo così:
 
Cara Ludovica,
le due affermazioni sono entrambe vere. La prima è una conseguenza del teorema cosiddetto “dei valori intermedi” o di Darboux:
“se una funzione \(f(x)\) è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato \(\left[ a,b \right]\), allora tale funzione assume almeno una volta, in tale intervallo, tutti i valori compresi tra il valore minimo e il valore massimo (assoluti) assunti dalla funzione nell’intervallo stesso” (essendo l’esistenza di un massimo e di un minimo assoluti per una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato garantita dal teorema di Weierstrass).
Poiché il minimo di \(f(x)\) in \(\left[ 0,2 \right]\) è sicuramente minore o uguale a \(1\) e il massimo è sicuramente maggiore o uguale a \(4\), e \(f(x)=2\) non è soddisfatta negli estremi dell’intervallo, deve esistere almeno un valore \(c\) interno all’intervallo, cioè con \(c\in \left( 0,2 \right)\), tale che sia \(f(c)=2\).
La seconda consegue da un altro teorema, relativo ai punti di flesso:
“se \(g(x)\) è funzione derivabile tre volte nei punti interni di un intervallo \(I\), con derivata terza continua, e se nel punto \(c\) interno ad \(I\) si ha \(g’’(x)\left( c \right)=0\) e \(g’’’(x)\left( c \right)\ne 0\), allora \(g(x)\) ha in \(x=c\) un punto di flesso. In particolare: se \(g’’’(x)\left( c \right)> 0\), il flesso è ascendente (cioè la funzione è convessa in un intorno destro di \(c\)), se \(g’’’(x)\left( c \right)< 0\), il flesso è discendente (cioè la funzione è convessa in un intorno sinistro di \(c\))”.
Le condizioni suddette, infatti, equivalgono alla condizione che \(g’’(x)\) sia crescente in un intorno del punto \(c\) in cui si annulla (infatti la sua derivata esiste positiva in tale intorno, per la continuità ipotizzata di \(g’’’(x)\)), e questo implica che \(g’’(x)\) sia positiva a destra e negativa a sinistra di \(c\), cioè che in \(c\) si verifichi un cambio di concavità, proprio dei punti di flesso. La funzione \(g(x)\) ipotizzata soddisfa esattamente le condizioni che definiscono un flesso ascendente nel punto \(x=3\).
 
Massimo Bergamini