Un problema di geometria analitica

Ricevo da Ludovico la seguente domanda:
 
Gentile professore,
mi sfugge qualcosa e non riesco a risolvere questo problema:
Determinare le equazioni delle circonferenze che hanno il centro appartenente alla bisettrice del primo e terzo quadrante, sono tangenti alla retta di equazione \(y=3x+1\) e hanno raggio uguale a \(\sqrt{10}/20\).
La ringrazio.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Ludovico,
possiamo ragionare così: le circonferenze di raggio \(\sqrt{10}/20\) i cui centri sono punti del tipo \(C(k,k)\), cioè appartenenti alla retta \(y=x\), hanno equazione generale \[{{\left( x-k \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}=\frac{1}{40}\quad .\]
La condizione che tale generica circonferenza sia tangente alla retta \(y=3x+1\) equivale alla condizione che il centro \(C(k,k)\) abbia da tale retta una distanza pari a \(\sqrt{10}/20\) (si ricordi la perpendicolarità raggio-tangente nel punto di tangenza), cioè: \[\frac{\left| 3k-k+1 \right|}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{20}\to 2k+1=\pm \frac{1}{2}\to k=-\frac{1}{4}\vee k=-\frac{3}{4}\]per cui le circonferenze cercate sono due, con equazioni \[10{{x}^{2}}+10{{y}^{2}}+5x+5y+1=0\quad \quad 10{{x}^{2}}+10{{y}^{2}}+15x+15y+11=0\quad .\]
Massimo Bergamini