Un’equazione parametrica

Ricevo da Diego la seguente domanda:
 
Gentile professore,
ho bisogno di una spiegazione a proposito della seguente equazione goniometrica parametrica:
            \[\left\{ \begin{array}{ll} 4\left( {{\cos }^{2}}x+\sin x \right)=k-1 \\ 0\le x\le\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\]
La ringrazio.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Diego,
una volta riscritto il sistema in questo modo, sfruttando la fondamentale identità goniometrica
                     \[\left\{ \begin{array}{ll} 4\sin^{2}x-4\sin x +k-5=0 \\ 0\le x\le\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\]
posto \(X=\sin x\) e \(Y={{X}^{2}}\) otteniamo il sistema equivalente: \[\left\{ \begin{array}{lll} 4Y-4X+k-5=0 \\ Y=X^2 \\ 0\le X\le 1 \end{array} \right.\]
che rappresenta, nel piano \(XY\), un problema di intersezione tra un arco di parabola e un fascio improprio di rette. La retta del fascio \(Y=X+(5-k)/4\) interseca entrambi gli estremi \((0,0)\) e \((1,1)\) dell’arco della parabola \(Y=X^2\) per \(k=5\), ed è tangente a tale arco per il valore di \(k\) che annulla il discriminante dell’equazione risolvente il sistema, cioè: \(4-4k+20=0\), da cui \(k=6\). Da ciò e dall’analisi della rappresentazione grafica si può quindi concludere che il sistema ammette due soluzioni distinte se \(5\le k<6\), due soluzioni coincidenti se \(k=6\).
 
Massimo Bergamini