Ricevo da Filomena la seguente domanda:
Buonasera Professore,
ho questo dubbio amletico:
Stabilire se la seguente affermazione è corretta, giustificando le risposte:
se \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=5\] allora la disequazione \(f(x)\ge 4\) ha soluzione in un intorno del punto \(x=3\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Filomena,
premesso che l’ipotesi \(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=5\) implica:
a) ogni intorno \({I}\left( 3 \right)\) contiene valori \(x\) distinti da \(3\) appartenenti al dominio \(D_f\) di \(f(x)\), cioè \(3\) è di accumulazione per \(D_f\):
b) per ogni \(\varepsilon >0\), esiste un intorno \({{I}_{\varepsilon}}\left( 3 \right)\) tale che, se \(x\in {{I}_{\varepsilon }}\left( 3 \right)\cap {{D}_{f}}-\left\{ 3 \right\}\), allora \(\left| f\left( x \right)-5 \right|\le \varepsilon \) (e la condizione a) garantisce che \({{I}_{\varepsilon }}\left( 3 \right)\cap {{D}_{f}}-\left\{ 3 \right\}\) non sia vuoto);
è quindi sufficiente considerare \(\varepsilon \le 1\) perché si abbia un intorno \(\tilde{I}\left( 3 \right)\) tale che per ogni \(x\in \tilde{I}\left( 3 \right)\cap {{D}_{f}}-\left\{ 3 \right\}\) sia \(\left| f\left( x \right)-5 \right|\le 1\), cioè \(4\le f\left( x \right)\le 6\), e questo, in particolare, implica che in tale intorno di \(3\) esistono soluzioni della disequazione \(f\left( x \right)\ge 4\), come richiesto.
Massimo Bergamini