Ricevo da Michela la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
non so svolgere il seguente esercizio (Matematica.blu 2.0, n.183, pag. 879):
In una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) la corda \(AC\) misura \(r\sqrt{2}\). Il punto \(P\), preso sull’arco \(AC\), ha proiezione \(H\) sul segmento \(AC\) e \(C\) ha proiezione \(K\) sulla tangente in \(P\). Detto \(x\) l’angolo \(C\hat{A}P\), determina la funzione: \[y=\overline{CK}+\sqrt{2}\overline{PH}+\overline{PK}\] e rappresenta il suo grafico tenendo conto dei limiti del problema.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Michela,
con riferimento alla figura, osserviamo innanzitutto che, in base al teorema della corda, \(AC\) sottende un angolo al centro retto, per cui \(C\hat{A}O=A\hat{C}O=\pi/4\) e \(0\le x\le \pi/4\). Sempre in base al teorema della corda, poiché la corda \(PC\) è vista sotto un angolo alla circonferenza di ampiezza \(x\), il corrispondente angolo al centro ha ampiezza doppia, cioè \(P\hat{O}C=2x\). Ne consegue: \[CK=PQ=PO-QO=r-r\cos 2x\quad PK=CQ=r\sin 2x\]\[PH=AP\sin x=2r\sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\sin x\]quindi: \[y=r\left( 1-\cos 2x+2\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{4}+x \right)\sin x+\sin 2x \right)=\]\[=r\left( 1-\cos 2x+2\left( \sin x+\cos x \right)\sin x+\sin 2x \right)=\]
\[=r\left( 1-2{{\sin }^{2}}x-\cos 2x+2\sin 2x \right)=r\left( \cos 2x-\cos 2x+2\sin 2x \right)=\]\[=2r\sin 2x\quad .\]
Massimo Bergamini