Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di aiutarmi con questi problemi.
1) In un cerchio di raggio \(r\) condurre una corda in modo che risulti massima la superficie laterale del cilindro che si ottiene facendo ruotare la corda attorno al diametro ad essa parallelo.
2) Sia \(AB\) il lato di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio \(r\). Determinare sul maggiore dei due archi \(AB\) un punto \(P\) in modo che sia massimo il volume della piramide avente per base il triangolo \(APB\) e per altezza la distanza di \(P\) dalla tangente in \(A\).
3) Con un cartone avente la forma di un quadrato di lato \(l\) costruire una scatola aperta di capienza massima asportando dagli angoli quattro convenienti quadrati uguali.
4) Una scatola ha la forma di un prisma cavo retto a base quadrata. Se la superficie è costante e uguale ad \(a^2\) determinare la scatola di massima capienza.
5) Tra tutte le piramidi rette a base quadrata di data superficie laterale \(S\) determinare quella per cui è massimo il volume del cilindro circoscritto.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, detto \(2x\) l’angolo al centro sotteso alla corda \(AB\), con \(0\le x\le \pi/2\), si ha \(AB=2r\sin x\) e \(BC=r\cos x\), per cui la superficie laterale del cilindro è \(S_L=4\pi r^2\sin x\cos x=2\pi r^2\sin 2x\), funzione che ha il suo massimo per \(\sin 2x=\pi/2\), cioè \(x=\pi/4\), corrispondente ad un cilindro equilatero (diametro di base = altezza).
Nel secondo caso, posto \(P\hat{A}B=x\), con \(0\le x< 3\pi/4\), si ha \(AB=\sqrt{2}r\) e \(AP=2r\sin(\pi/4+x)\), da cui: \[PK=AP\sin x=2r\sin x\sin \left( \pi /4+x \right)\quad PH=AP\sin \left( \pi /4+x \right)=2r{{\sin }^{2}}\left( \pi /4+x \right)\]
e quindi, posto che \(BV=PH\) sia l’altezza della piramide di base \(APB\): \[{{S}_{APB}}=\frac{AB\cdot PK}{2}=\sqrt{2}{{r}^{2}}\sin x\sin \left( \pi /4+x \right)\to {{V}_{APBV}}\left( x \right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}{{r}^{3}}\sin x{{\sin }^{3}}\left( \pi /4+x \right)\quad .\]
Derivando e uguagliando a \(0\) l’espressione di \({{V}_{APBV}}\left( x \right)\), si ottiene:
\[V{{'}_{APBV}}\left( x \right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\left( \pi /4+x \right)\left( \cos x\sin \left( \pi /4+x \right)+3\sin x\cos \left( \pi /4+x \right) \right)=\]\[=\frac{2}{3}{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\left( \pi /4+x \right)\left( -3{{\sin }^{2}}x+4\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x \right)\]da cui: \[V_{APBV}^{'}\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\arctan \left( \frac{2+\sqrt{7}}{3} \right)\approx {{57,15}^{{}^\circ }}\]
soluzione accettabile corrispondente al massimo cercato.
Nel terzo caso, detto \(x\) il lato di ciascuno dei quadrati asportati, con \(0<x<l/2\), si ha facilmente che il volume della scatola ottenuta risulta \(V(x)=x(l-2x)^2\), per cui \(V’(x)=(l-2x)^2-4x(l-2x)=(l-2x)(l-6x)\), cioè: (V’(x)=0\leftrightarrow x=l/6\), che corrisponde al massimo cercato.
Nel quarto caso, detto \(x\) il lato di base del prisma e \(h\) la sua altezza, si ha \(a^2=x^2+4hx\) per cui \(h=(a^2-x^2)/(4x)\), e il volume del prisma risulta \(V(x)=a^2x/4-x^3/4\), per cui:
\[V'\left( x \right)=\frac{1}{4}\left( {{a}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)\to V'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] valore che corrisponde al massimo cercato.
Nell’ultimo caso, posto \(2x\) il lato del quadrato di base della piramide di superficie laterale \(S\), e detta \(h\) la sua altezza, si ha \(S=4x\sqrt{h^2+x^2}\), da cui: \(h=\sqrt{S^2-16x^4}/(4x)\). Detto \(V(x)\) il volume del cilindro circoscritto si ha pertanto, essendo \(r=\sqrt{2}x\) il raggio della circonferenza circoscritta al quadrato di base: \[V\left( x \right)=\frac{\pi }{2}x\sqrt{{{S}^{2}}-16{{x}^{4}}}\to V'\left( x \right)=\frac{\pi \left( {{S}^{2}}-48{{x}^{4}} \right)}{2\sqrt{{{S}^{2}}-16{{x}^{4}}}}\to V'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{S\sqrt[4]{27}}{6}\] valore corrispondente al massimo cercato.
Massimo Bergamini