Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Salve professore,
avrei bisogno del suo aiuto con queste disequazioni…
\[A)\quad \left( 2-\sin \left( {{\log }_{2}}\left[ \sqrt{\left| \frac{x+1}{x-1} \right|}-1 \right] \right) \right)\cdot \arctan \left( {{3}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{3}}^{6x-4}} \right)\ge 0\]
\[B)\quad \left( \cos \left( {{\log }_{3}}\left[ \sqrt{\left| \frac{x+2}{x-2} \right|}-1 \right] \right)-2 \right)\cdot \arctan \left( {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{5}}^{10x-12}} \right)\ge 0\]
\[C)\quad \left( \sin \left( {{\log }_{5}}\left[ \sqrt{\left| \frac{x+4}{x-4} \right|}-1 \right] \right)-2 \right)\cdot \arctan \left( {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{5}}^{6x-4}} \right)\le 0\]
\[D)\quad \left( 2-\cos \left( {{\log }_{3}}\left[ \sqrt{\left| \frac{x+3}{x-3} \right|}-1 \right] \right) \right)\cdot \arctan \left( {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{5}}^{10x-12}} \right)\ge 0\]
La ringrazio.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
le disequazioni che proponi si risolvono tutte con la stessa strategia: si deve confrontare il segno di due fattori, di cui il primo è uniforme nel suo insieme di esistenza, o sempre positivo o sempre negativo, trattandosi della differenza tra \(2\) e una funzione (seno o coseno) oscillante tra \(-1\) e \(1\). Il secondo fattore, la funzione arcotangente, è funzione definita per ogni \(x\) reale e avente lo stesso segno del proprio argomento, quindi, ad esempio nel caso \(A)\), l’insieme soluzione \(S_A\) è l’intersezione tra il dominio del primo fattore, che in questo caso laddove esiste è strettamente positivo, e l’insieme degli \(x\) che rendono positivo o nullo l’argomento dell’arcotangente, cioè: \[\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\left| \frac{x+1}{x-1} \right|}-1 >0 \\ {{3}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{3}}^{6x-4}}\ge 0 \end{array} \right.\]
da cui: \[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}{x-1}>0\vee \frac{2x}{x-1}<0 \\ x^2-3x+2 \ge 0 \end{array} \right.\] e infine: \[\left\{ \begin{array}{ll} x>0\;x\ne 1 \\ x\le 1 \vee x\ge 2 \end{array} \right.\] per cui:\[{{S}_{A}}=\left\{ 0<x<1 \right\}\cup \left\{ x\ge 2 \right\}\quad .\]
In modo analogo si ricavano le soluzioni negli altri tre casi:
\[\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\left| \frac{x+2}{x-2} \right|}-1 >0 \\ {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{5}}^{10x-12}}\le 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{ll} \frac{4}{x-2}>0\vee \frac{x}{x-2}<0 \\ x^2-5x+6 \le 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{ll} x>0\;x\ne 2 \\ 2\le x\le 3 \end{array} \right.\] per cui:\[{{S}_{B}}=\left\{ 2<x\le 3 \right\}\quad .\]
\[\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\left| \frac{x+4}{x-4} \right|}-1 >0 \\ {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{5}}^{6x-4}}\ge 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{ll} \frac{8}{x-4}>0\vee \frac{2x}{x-4}<0 \\ x^2-3x+2 \ge 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{ll} x>0\;x\ne 4 \\ x\le 1 \vee x\ge 2 \end{array} \right.\] per cui: \[{{S}_{C}}=\left\{ 0<x\le 1 \right\}\cup \left\{ x\ge 2,x\ne 4 \right\}\quad .\]
\[\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\left| \frac{x+3}{x-3} \right|}-1 >0 \\ {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{\sqrt{5}}^{10x-12}}\ge 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{ll} \frac{6}{x-3}>0\vee \frac{2x}{x-3}<0 \\ x^2-5x+6 \ge 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{ll} x>0\;x\ne 3 \\ x\le 2 \vee x\ge 3 \end{array} \right.\] per cui: \[{{S}_{D}}=\left\{ 0<x\le 2 \right\}\cup \left\{ x>3 \right\}\quad .\]
La rappresentazione grafica delle quattro funzioni espresse dai primi membri delle disequazioni conferma (!?) il risultato ottenuto per via analitica.
Massimo Bergamini