Tre problemi di max/min

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
la prego di aiutarmi a risolvere questi quesiti.
1) Fra i trapezi inscritti nela semiellisse di equazione \(y=\frac{3}{5}\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) aventi per base maggiore l’asse maggiore determinare quello di area massima.
2) Un lato di un campo rettangolare è limitato da un ruscello. Se si vogliono recintare gli altri tre lati con una rete metallica lunga \(1000\;m\), quali devono essere le dimensioni del recinto affinché l’area recintata sia massima?
3) Parallelamente alla facciata di un palazzo alto più di 8 metri a distanza di 1 metro si erge un muro alto 8 metri. Qual è la lunghezza minima di una scala che partendo dal suolo si appoggi alla parete e passi per la sommità del muro?
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
nel primo quesito, sia \(x\) l’ascissa del vertice \(C\) del trapezio appartenente alla semiellisse e al primo quadrante, con \(0\le x\le 5\); l’area \(S(x)\) del trapezio è la funzione \[S\left( x \right)=\frac{3}{5}\left( 5+x \right)\sqrt{25-{{x}^{2}}}\quad .\] Deriviamo \(S(x)\), cerchiamo il valore di \(x\) nell’intervallo \(0\le x\le 5\) per cui sia \(S’(x)=0\), controllando poi che si tratti di un punto di massimo relativo per \(S(x)\): \[S'\left( x \right)=-\frac{3}{5}\frac{\left( 2{{x}^{2}}+5x-25 \right)}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{5}{2}\quad .\]
Il trapezio cercato ha il vertice \(C\) nel punto di coordinate \((5/2,3\sqrt{2}/2)\).
Nel secondo quesito, sia \(x\) la misura in metri del lato del rettangolo perpendicolare al ruscello, con \(0\le x \le 500\); ne consegue che l’altro lato misura \(y=1000-2x\), e quindi l’area è data dalla funzione di 2° grado \(R(x) = 2x(500-x)\); non è necessario ricorrere alle derivate per osservare che il massimo di tale funzione, il cui grafico cartesiano è una parabola con concavità rivolta verso il basso, si realizza in corrispondenza di \(x=250\;m\) (ascissa del vertice), e quindi \(y=500\;m\).
Nel terzo quesito, posta \(x=OP=AH\) la distanza da terra del punto d’appoggio della prima rampa della scala alla parete del palazzo, si tratta di determinare in funzione di \(x\) la lunghezza \(l(x)=AP+PB\) dell’intera scala, cioè, in base al teorema di Pitagora: \[l\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+1}\quad .\] Deriviamo \(l(x)\), cerchiamo il valore di \(x\) per cui sia \(l’(x)=0\), controllando poi che si tratti di un punto di minimo relativo per \(S(x)\): \[l'\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\frac{8-x}{\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+1}}=\frac{x\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+1}-\left( 8-x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+1}}\to \]\[\to l'\left( x \right)=0\leftrightarrow x\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+1}=\left( 8-x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\to x=4\quad .\]
Massimo Bergamini