Studi di funzione

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
puo’ aiutarmi nello studio delle funzioni
        \[f\left( x \right)=\left| {{10}^{x}}-1 \right|\quad \quad g\left( x \right)=\arcsin \left( \frac{x}{x-1} \right)\quad ?\]
La prima funzione può essere invertibile?
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
la funzione \(f(x)\), definita in \({{D}_{f}}=\mathbb{R}\) e sempre non negativa, nulla in \(x=0\), è facilmente rappresentabile a partire dalla funzione esponenziale \(10^x\), monotona crescente e tendente a \(0\) per \(x\) tendente a \(-\infty\), tendente a \(+\infty\) per \(x\) tendente a \(+\infty\); infatti, il grafico di \(10^x-1\) si ottiene dal grafico di questa per traslazione in direzione  \(y\) di \(-1\), e infine il grafico di \(f(x)\) si ottiene da questo “rispecchiando” al di sopra dell’asse \(x\) la sua parte con ordinata negativa, cioè la parte appartenente al terzo quadrante. Ne risulta una funzione dotata di un asintoto orizzontale \(y=1\) per \(x\) tendente a \(-\infty\), ovunque continua, derivabile per ogni \(x\neq 0\): in \(x=0\) infatti i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale forniscono i valori distinti \(\ln 10\) e \(-\ln 10\). La funzione, chiaramente non iniettiva e quindi non invertibile (a distinti valori di \(x\) può corrispondere lo stesso valore di \(y\)), presenta un minimo, relativo ed assoluto, in \(x=0\), anche se non si tratta, per quanto detto, di un minimo “regolare”, cioè con derivata nulla. Il segno della derivata seconda, cioè \({{\ln }^{2}}10\cdot {{10}^{x}}\) per \(x>0\), \(-{{\ln }^{2}}10\cdot {{10}^{x}}\) per \(x<0\), conferma che il grafico della funzione ha concavità rivolta verso il basso per \(x<0\), verso l’alto per \(x>0\).
La funzione \(g(x)\), definita e continua per \(x\) tale che \(-1\le x/\left( x-1 \right)\le 1\), cioè in \({{D}_{g}}=\left] -\infty ,\frac{1}{2} \right]\), è positiva per \(x<0\), nulla in \(x=0\) e negativa per \(0<x\le 1/2\). Essendo \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\arcsin \left( 1 \right)=\pi /2\), il grafico di \(g(x)\) presenta, in tale limite, l’asintoto orizzontale \(y=\pi/2\). Passando alle derivate prima e seconda, abbiamo:
\[g'\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}\left| x-1 \right|}\quad \quad g'\left( x \right)=-\frac{2-3x}{\sqrt{{{\left( 1-2x \right)}^{3}}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\quad \quad x<\frac{1}{2}\]
dalla cui analisi si deduce che la funzione è, nel suo dominio, monotona decrescente e concava verso il basso, e presenta in \(x=1/2\) un punto di non derivabilità, a tangente verticale. 
 
Massimo Bergamini