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Ricevo da Stefania la seguente domanda:
 
Caro professore,
ho di nuovo bisogno del suo aiuto.
a) Fra i trapezi isosceli che hanno il lato obliquo perpendicolare alla diagonale, determina quello per cui è massima la somma del lato obliquo e della base minore.
b) Calcola il seguente limite: \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left| x \right|}{1-x}\quad .\]
Grazie!
 
Le rispondo così:
 
Cara Stefania,
nel primo caso, posta uguale ad \(L\) la misura della base maggiore \(AB\) del trapezio, possiamo immaginare questa famiglia di trapezi isosceli come l’insieme dei trapezi inscritti nella semicirconferenza di diametro \(AB=L\). Posto \(x=AD=BC\) ciascuno dei lati obliqui, con \(0<x<L\), il 2° teorema di Euclide ci fornisce la proiezione \(AH=KB\) di ciascun lato obliquo sulla base maggiore, cioè \(AH=KB=x^2/L\), da cui si può ricavare la base minore \(CD=HK=L-2x^2/L\). La funzione da massimizzare è quindi \(f(x)=AD+CD=x+L-2x^2/L\), la cui derivata \(f’(x)=1-4x/L\) si annulla per \(x=L/4\), valore corrispondente al massimo cercato, come si può verificare dall’andamento del segno di \(f’(x)\).   
Riguardo al limite, dal momento che in un intorno di \(x=1\) ovviamente \(|x|=x\), ci riconduciamo facilmente ad un limite notevole con la sostituzione \(t=x-1\): \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left| x \right|}{1-x}=-\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{x-1}=-\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( t+1 \right)}{t}=-1\quad .\]
Massimo Bergamini